[Wiskunde] Calculus, "path/line integrals"

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 3

[Wiskunde] Calculus, "path/line integrals"

Ik heb moeite uit de volgende opgave te komen:

Let
\(\textbf{c}\)
be a smooth path

If
\(\textbf{F}\)
is parallel to
\($\textbf{c}'(t)$\)
at
\($\textbf{c}(t)$\)
,

Show that:
\($\int_c \textbf{F} * e\mph{d} \textbf{s} = \int_c\parallel \textbf{F} \parallel e\mph{d} \textbf{s}$\)
By parallel to
\($\textbf{c}'(t)$\)
we mean that
\($\textbf{F}(\textbf{c}'(t) = \lambda(t) \textbf{c}'(t)$\)
, where
\($\lambda(t) > 0$\)
("*" moet een dot product/inproduct voorstellen!)

Ik weet al dat ik de regel "
\($\int_c \textbf{F} * e\mph{d} \textbf{s} = \int^b_a \textbf{F}(\textbf{c}(t)) * \textbf{c}'(t) dt$\)
" moet gebruiken en daarin "
\($\textbf{F}(\textbf{c}'(t) = \lambda(t) \textbf{c}'(t)$\)
" moet invullen. Ook weet ik dat ik geacht wordt "
\($\parallel \textbf{F} \parallel$\)
" uit te schrijven. Ik weet echter niet hoe ik met die gegevens aan de slag moet. Hulp zou zeer welkom zijn!

Alvast bedankt!

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: [Wiskunde] Calculus, "path/line integrals"

\(\vec{v_t}=\frac{d\vec{r}}{dt}\)
\(\vec{F_t}=\lambda _t \frac{d\vec{r_t}}{dt}=\lambda _t \vec{v_t}\)
\(\parallel \vec{F_t} \parallel=\lambda _t \parallel \vec{v_t} \parallel\)
\(\int_c \vec{F_t}\cdot d\vec{r}=\int_c [\vec{F_t}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}] dt=\int_c [\vec{F_t}\cdot \vec{v_t}] dt\)
\(\int_c [\lambda _t \vec{v_t}\cdot \vec{v_t}]dt\)
\(\int_c\lambda _t \parallel \vec{v_t} \parallel \parallel \vec{v_t} \parallel dt\)
\(=\int_c \parallel \vec{F_t} \parallel \frac{\parallel d\vec{r} \parallel}{dt} dt\)
\(=\int_c \parallel \vec{F_t} \parallel \parallel d\vec{r} \parallel \)

Berichten: 3

Re: [Wiskunde] Calculus, "path/line integrals"

aadkr schreef:
\(\vec{v_t}=\frac{d\vec{r}}{dt}\)
\(\vec{F_t}=\lambda _t \frac{d\vec{r_t}}{dt}=\lambda _t \vec{v_t}\)
\(\parallel \vec{F_t} \parallel=\lambda _t \parallel \vec{v_t} \parallel\)
\(\int_c \vec{F_t}\cdot d\vec{r}=\int_c [\vec{F_t}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}] dt=\int_c [\vec{F_t}\cdot \vec{v_t}] dt\)
\(\int_c [\lambda _t \vec{v_t}\cdot \vec{v_t}]dt\)
\(\int_c\lambda _t \parallel \vec{v_t} \parallel \parallel \vec{v_t} \parallel dt\)
\(=\int_c \parallel \vec{F_t} \parallel \frac{\parallel d\vec{r} \parallel}{dt} dt\)
\(=\int_c \parallel \vec{F_t} \parallel \parallel d\vec{r} \parallel \)


Bedankt voor de reactie! Ik snap het idee van je berekening wel maar ik snap niet helemaal waar die
\(\vec{v_t}\)
en die
\(d\vec{r}\)
vandaan komen. Ik neem aan dat je
\(d\vec{r}\)
gebruikt hebt i.p.v.
\(\textbf{s}\)
en
\(\vec{v_t}\)
i.p.v.
\(\textbf{c}\)
?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [Wiskunde] Calculus, "path/line integrals"

De plaatsvector r is bij jou c, de afgeleide ervan (dr/dt) is v, bij jou c'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: [Wiskunde] Calculus, "path/line integrals"

Inderdaad.

In je eerste bericht staat de regel: "show that"

In de regel daaronder staat een formule en aan het eind staat ds met een dikke s , dus de vector ds . Om deze ds moeten ook absolute waarde strepen staan.

Berichten: 3

Re: [Wiskunde] Calculus, "path/line integrals"

aadkr schreef:Inderdaad.

In je eerste bericht staat de regel: "show that"

In de regel daaronder staat een formule en aan het eind staat ds met een dikke s , dus de vector ds . Om deze ds moeten ook absolute waarde strepen staan.


Nee, maar ik heb het wel fout, het moest een normale "s" zijn, geen vector! Klopt de berekening dan nog wel?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: [Wiskunde] Calculus, "path/line integrals"

Als er om de vector ds absolutewaardestrepen staan, dan is dit gelijk aan ds .

De berekening klopt.

Reageer