[Fysica/Wiskunde] Gedempte trilling

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

[Fysica/Wiskunde] Gedempte trilling

Een blokje hangt aan een veer in een bak water. Stel de vergelijking op voor de beweging van de blok.

Nuja, die kennen we allemaal wel, maar hoe kom ik daar aan?

Er is een weerstand R = -bv en een veerkracht F = -kx
\(\sum F_x = -kx + bv_x = ma_x \Leftrightarrow ma_x + kx + bv_x = 0\)
Anders gezegd
\(m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0\)
Hoe los ik die op?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [Fysica/Wiskunde] Gedempte trilling

Dit is een homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten -> karakteristieke vergelijking, ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: [Fysica/Wiskunde] Gedempte trilling

\(m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0 \Leftrightarrow \frac{d^2x}{dt^2}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0\)
\(r^2+\frac{b}{m}r+\frac{k}{m}=0\)
,
\( r=\frac{-\frac{b}{m} \pm \sqrt{\frac{b^2}{m^2}-4 \frac{k}{m}}}{2}\)
\(=- \frac{b}{2m} \pm \frac{ \sqrt{b^2-4mk}}{2m}\)


kritische demping als
\(b^2=4mk\)
overgedempt als
\(b^2>4mk\)
ondergedempt als
\(b^2<4mk\)


voor kirtische demping
\(r=-\frac{b}{2m}\)
dus
\(x=(c_1+c_2t)e^{-\frac{b}{2m}t}\)
voor overdemping heeft r twee oplossingen dus
\(x=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}\)
\(\omega = \frac{ \sqrt{b^2-4mk}}{2m} \)
voor onderdemping is de wortel complex dus
\(r=- \frac{b}{2m} \pm \omega i\)
\( , x=e^{\frac{b}{2m}t}(c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t )\)


+ http://www.wetenschapsforum.nl/invision/in...showtopic=51418

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: [Fysica/Wiskunde] Gedempte trilling

Dit is een homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten -> karakteristieke vergelijking, ...
Ik merk aan je reactie dat ik dit inderdaad zelf had moeten kunnen, inderdaad, maar het ging hem mij vooral over dempings dingen die Morzon zei, waarvoor dank :) .

Nu deze is niet meer gedempt, maar hoe los ik deze vergelijking op van een gedwongen trilling:
\(m \frac{d²x}{dt²} + b \frac{dx}{dt} + kx = F_0 \sin( \omega t)\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [Fysica/Wiskunde] Gedempte trilling

Je hebt de oplossing van de homogene al, nu komt er een particuliere bij.

Het rechterlid is echter van bijzondere vorm, oplossing kan door zelf een particuliere oplossing voor te stellen:
\(y_p = A\sin \left( {\omega t} \right) + B\cos \left( {\omega t} \right)\)
Invullen (ook de eerste en tweede afgeleide bepalen dus) en coëfficiënten identificeren.

Edit: zie ook hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer