Een Differentiaalvergelijking
- Berichten: 3.330
Een Differentiaalvergelijking
Los op:
xdy-{y+xy³(1+lnx)}dx=0
Opmerk.
Geen Latex en geen automatisch inloggen met I.E. 7
xdy-{y+xy³(1+lnx)}dx=0
Opmerk.
Geen Latex en geen automatisch inloggen met I.E. 7
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: Een Differentiaalvergelijking
Schrijf de vergelijking in de vorm
xy' - y = xy³(1+ln(x))
Nu is (x/y)' = (y - xy')/y² (quotientregel)
dus (x/y)' = -xy(1+ln(x))
Schrijf z = x/y,
dan is
z' = -x²/z(1+ln(x))
zz' = -x²(1+ln(x))
(z²)' = -2x²(1+ln(x))
z² = -2/3x³(2/3-ln(x)) + c
x/y = z = {-2/3x³(2/3-ln(x)) + c}
y = [plusmin]x/ {-2/3x³(2/3-ln(x)) + c}
xy' - y = xy³(1+ln(x))
Nu is (x/y)' = (y - xy')/y² (quotientregel)
dus (x/y)' = -xy(1+ln(x))
Schrijf z = x/y,
dan is
z' = -x²/z(1+ln(x))
zz' = -x²(1+ln(x))
(z²)' = -2x²(1+ln(x))
z² = -2/3x³(2/3-ln(x)) + c
x/y = z = {-2/3x³(2/3-ln(x)) + c}
y = [plusmin]x/ {-2/3x³(2/3-ln(x)) + c}
- Berichten: 3.330
Re: Een Differentiaalvergelijking
Ik meen er een vergelijking Bernouilli in te zien als LaTeX werkt zal ik mijn oplossing geven. De jouwe is nog niet volledig duidelijk voor mij, maar ik kan geen opmerkingen maken.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 3.330
Re: Een Differentiaalvergelijking
xdy-{y+xy³(1+lnx)}dx=0
Na wat rekenen:
Integrerende factor
De rest is gewoon eenvoudig rekenen en terug vervangen wat me hetzelfde oplevert als PeterPan.Hij heeft de zaak volledig creatief benaderd waar ik meer voorgeschreven regels heb gevolgd.
\(\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=(1+\ln{x})y^3\)
Vgl. Bernouilli\(\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{y^2x}=(1+\ln{x})\)
\(v=-\frac{1}{y^2} \mbox{ of } \frac{dv}{dx}=-2\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx} \mbox{ of } \frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2}\frac{dv}{dx}\)
Na wat rekenen:
\(\frac{dv}{dx}+\frac{2v}{x}=-2(1+\ln{x})\)
Lineaire differentiaalvgl in vIntegrerende factor
\( e^{\int P(x)dx}=e^{\ln{x^2}}=x^2\)
Of \(\frac{d(x^2v)}{dx}=-2x^2(1+\ln{x})\)
De rest is gewoon eenvoudig rekenen en terug vervangen wat me hetzelfde oplevert als PeterPan.Hij heeft de zaak volledig creatief benaderd waar ik meer voorgeschreven regels heb gevolgd.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?