[mechanica]trillingen om een evenwichtspunt
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 7.556
[mechanica]trillingen om een evenwichtspunt
Een dunne lat met massa M en lengte l kan wrijvingsloos om een as door het middelpunt van de lat en loodrecht op de lat. Een horizontale massaloze veer met veerconstante k verbindt een uiteinde van de lat met een vast steunpunt. De staaf wordt gedraaid over een kleine hoek a=a0 t.o.v. de verticaal, waardoor de veer uitrekt, en wordt vervolgens (t=0) losgelaten.
Ik heb al de juiste bewegingsvergelijking opgesteld, namelijk
(d^2.a)/(dt) = -w^2.a (met w, omega dus, de hoeksnelheid: Sqrt[3k/M] met k de veerconstante). (met traagheidsmoment Ml/12)
Dit is goed. Dan nu:
1) Geef de volledige oplossing van de beweging van de lat als functie van de tijd met de gegeven randvoorwaarden.
2)In een nieuwe situatie staat op t=0 de staaf verticaal a=0. Op dit moment wordt in het bovenste uiteinde van de lat een kogel met massa m met snelheid v horizontaal in de lat geschoten. Motiveer welke behoudswet er geldt. Bereken de hoeksnelheid w0=da/dt van de lat meteen na de botsing (t=0). Verwaarloos de massa van de kogel op het traagheidsmoment.
3) Geef de volledige oplossing van de beweging van de lat als functie van de tijd met de nieuwe randvoorwaarden.
1) kom ik uit op a(t) = A Exp[iwt]+B Exp[-iwt].
Klopt dit? Ik weet echter niet hoe de voorwaarden in te vullen: A+B = a0?
2) Ik neem aan dat de wet van behoud van impulsmoment geldt (ik zie alleen niet in dat het totale krachtmoment nul blijft, voor en na het schot).
Stel dat dit juist is, dan is het impulsmoment voor het schot toch nul (er is geen impuls). Wat is het erna? Ja nul, maar wat is de vergelijking?
3) tja, die zal wel duidelijk worden na 1) en 2)
Alvast bedankt!!
Ik heb al de juiste bewegingsvergelijking opgesteld, namelijk
(d^2.a)/(dt) = -w^2.a (met w, omega dus, de hoeksnelheid: Sqrt[3k/M] met k de veerconstante). (met traagheidsmoment Ml/12)
Dit is goed. Dan nu:
1) Geef de volledige oplossing van de beweging van de lat als functie van de tijd met de gegeven randvoorwaarden.
2)In een nieuwe situatie staat op t=0 de staaf verticaal a=0. Op dit moment wordt in het bovenste uiteinde van de lat een kogel met massa m met snelheid v horizontaal in de lat geschoten. Motiveer welke behoudswet er geldt. Bereken de hoeksnelheid w0=da/dt van de lat meteen na de botsing (t=0). Verwaarloos de massa van de kogel op het traagheidsmoment.
3) Geef de volledige oplossing van de beweging van de lat als functie van de tijd met de nieuwe randvoorwaarden.
1) kom ik uit op a(t) = A Exp[iwt]+B Exp[-iwt].
Klopt dit? Ik weet echter niet hoe de voorwaarden in te vullen: A+B = a0?
2) Ik neem aan dat de wet van behoud van impulsmoment geldt (ik zie alleen niet in dat het totale krachtmoment nul blijft, voor en na het schot).
Stel dat dit juist is, dan is het impulsmoment voor het schot toch nul (er is geen impuls). Wat is het erna? Ja nul, maar wat is de vergelijking?
3) tja, die zal wel duidelijk worden na 1) en 2)
Alvast bedankt!!
- Pluimdrager
- Berichten: 6.598
Re: [mechanica]trillingen om een evenwichtspunt
Zie ook "Wiskunde" "Tweedegraads vergelijking"
Uit de karakteristieke vergelijking komen 2 toegevoegd complexe wortels.
Lambda (1)= 0+3C/m. j ( C =veerkonstante , m=massa)
Lambda(2) =0 - 3C/m . j
Dus de algemene oplossing is:
Alfa=K1 . cos ( 3C/m .t ) + K2 . sin ( 3C/m .t)
Randvoorwaarde: t=0 Alfa=alfa(0)
Alfa(0)=K1 . 1 + K2 .0
K1=Alfa(0)
Alfa= Alfa(0) . cos( 3C/m . t) + K2 . sin ( 3C/m .t)
Nu Alfa differentieren naar de tijd
Omega= - 3C/m .Alfa(0) . sin (3C/m .t)+ K2 .3C/m . cos (3C/m .t)
Randvoorwaarde: t=0 Omega=0
0= K2 . 3C/m .1
K2=0
De oplossing is dus:
Alfa=Alfa(0) . cos ( 3C/m .t)
Uit de karakteristieke vergelijking komen 2 toegevoegd complexe wortels.
Lambda (1)= 0+3C/m. j ( C =veerkonstante , m=massa)
Lambda(2) =0 - 3C/m . j
Dus de algemene oplossing is:
Alfa=K1 . cos ( 3C/m .t ) + K2 . sin ( 3C/m .t)
Randvoorwaarde: t=0 Alfa=alfa(0)
Alfa(0)=K1 . 1 + K2 .0
K1=Alfa(0)
Alfa= Alfa(0) . cos( 3C/m . t) + K2 . sin ( 3C/m .t)
Nu Alfa differentieren naar de tijd
Omega= - 3C/m .Alfa(0) . sin (3C/m .t)+ K2 .3C/m . cos (3C/m .t)
Randvoorwaarde: t=0 Omega=0
0= K2 . 3C/m .1
K2=0
De oplossing is dus:
Alfa=Alfa(0) . cos ( 3C/m .t)
- Pluimdrager
- Berichten: 6.598
Re: [mechanica]trillingen om een evenwichtspunt
De wet van behoud van energie
De kinetische energie van de kogel wordt omgezet in potentiele energie van de veer.
1/2 .m .v^2= [Integraal] C .1/2 .l .(alfa) . 1/2 . l .d (alfa) tussen de grenzen (alfa)=0 en (alfa)= (alfa)0
1/2 .m .v^2 = + 1/8 . C . l^2 . ( alfa 0 )^2
(alfa)0= 2 .v /l . Wortel(m/C)
De bewegingsvergelijking is hetzelfde als de vorige.
De kinetische energie van de kogel wordt omgezet in potentiele energie van de veer.
1/2 .m .v^2= [Integraal] C .1/2 .l .(alfa) . 1/2 . l .d (alfa) tussen de grenzen (alfa)=0 en (alfa)= (alfa)0
1/2 .m .v^2 = + 1/8 . C . l^2 . ( alfa 0 )^2
(alfa)0= 2 .v /l . Wortel(m/C)
De bewegingsvergelijking is hetzelfde als de vorige.
- Berichten: 7.556
Re: [mechanica]trillingen om een evenwichtspunt
aadkr, ontzettend bedankt! Inmiddels was ik ook al ietsje verder, maar de voorwaarden en oplossingen zijn nu helemaal duidelijk.
Mag ik vragen wat voor opleiding je hebt (gedaan)? Ik zie dat je bij wis- en natuurkunde vaak vragen van hoog niveau beantwoord.
Mag ik vragen wat voor opleiding je hebt (gedaan)? Ik zie dat je bij wis- en natuurkunde vaak vragen van hoog niveau beantwoord.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
- Pluimdrager
- Berichten: 6.598
Re: [mechanica]trillingen om een evenwichtspunt
Phys,
L.T.S -M.T.S. en HTS Werktuigbouw
2 de graads docent Natuurkunde ( gehaald in de avondopleiding in Rotterdam)
Nog 2jaar opleiding 1 ste graads Natuurkunde gevolgd. ( niet afgemaakt).
L.T.S -M.T.S. en HTS Werktuigbouw
2 de graads docent Natuurkunde ( gehaald in de avondopleiding in Rotterdam)
Nog 2jaar opleiding 1 ste graads Natuurkunde gevolgd. ( niet afgemaakt).
- Berichten: 7.556
Re: [mechanica]trillingen om een evenwichtspunt
Ik zit nog even te oefenen voor mijn examen morgen, maar ik loop telkens vast met de randvoorwaarden. Gegeven is dat op t=0 de hoek is (alfa)0.aadkr schreef:Randvoorwaarde: t=0 Alfa=alfa(0)
Alfa(0)=K1 . 1 + K2 .0
K1=Alfa(0)
Alfa= Alfa(0) . cos( 3C/m . t) + K2 . sin ( 3C/m .t)
Nu Alfa differentieren naar de tijd
Omega= - 3C/m .Alfa(0) . sin (3C/m .t)+ K2 .3C/m . cos (3C/m .t)
Randvoorwaarde: t=0 Omega=0
0= K2 . 3C/m .1
K2=0
De oplossing is dus:
Alfa=Alfa(0) . cos ( 3C/m .t)
Maar hoe kom je aan het feit dat op t=0,
\(\omega=0\)
?We weten dat
\(\omega=\sqrt{\frac{3k}{M}}\)
Dit is toch onafhankelijk van de tijd?Voor de duidelijkheid: in de antwoorden staat ook dat de afgeleide, dus omega, nul is op t=0. Maar ik begrijp dit dus niet.
Anyone?
- Pluimdrager
- Berichten: 6.598
Re: [mechanica]trillingen om een evenwichtspunt
T=0 alfa = alfa (0) maximale uitwijkingshoek
t=0 omega=0 Dit is logisch, want bij de max. uitwijkingshoek is hoeksnelheid nul.
die omega die jij bedoelt, kan nooit de echte omega zijn. Dan zou de hoeksnelheid constant zijn, en dat is onmogelijk.
t=0 omega=0 Dit is logisch, want bij de max. uitwijkingshoek is hoeksnelheid nul.
die omega die jij bedoelt, kan nooit de echte omega zijn. Dan zou de hoeksnelheid constant zijn, en dat is onmogelijk.
- Berichten: 7.556
Re: [mechanica]trillingen om een evenwichtspunt
Ik blijf die
Maar de
Ook wel
In de bewegingsvergelijking
En in de formule voor impulsmoment
Verwarrend, hoor.
\(\omega\)
maar een vreemd ding vinden.\(\omega=\frac{d\theta}{dt}\)
is dus de hoeksnelheid.Maar de
\(\omega\)
in bijvoorbeeld \(A\cos{(\omega t+\phi)}\)
, is de hoekfrequentie, bij een simpele veer bijvoorbeeld \(\sqrt{\frac{k}{m}}\)
.Ook wel
\(2\pi f\)
.In de bewegingsvergelijking
\(\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\omega^2\theta\)
is het weer de hoekfrequentie.En in de formule voor impulsmoment
\(L=I\omega\)
is het weer de hoeksnelheid.Verwarrend, hoor.
- Pluimdrager
- Berichten: 6.598
Re: [mechanica]trillingen om een evenwichtspunt
Is ook verwarrend.
Maar je verhaal klopt wel.
Maar je verhaal klopt wel.