[mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Jeroen

Het gaat me hier niet om een mechanisch probleem eigenlijk, maar meer wiskundig.

Als DV kwam er bij deze opdracht dit uit:

\(\ddot{\varphi} + \varphi \left( \frac{2k}{mR^2} - \frac{b^2}{m^2 R^4} \right) = 0\)

nu zeggen vervolgens in de uitwerking: Als

\(k > \frac{-b}{2mR^2}\)

dan is de oplossing

\(\varphi(t) = \varphi_{\max} \cos(\omega t + \beta)\)

Waar komt dat vandaan?

Rov

Karakteristiek wil dit zeggen:

\(\lambda^2 + \lambda \left( \frac{2k}{mR^2} - \frac{b^2}{m^2 R^4} \right) = 0\)

Je wil weten wanneer deze vgl reële oplossingen heeft (want dan is de oplossing die cosinus functie), dus wanneer de discriminant groter dan nul is.

\(D = \left( \frac{2k}{mR^2} - \frac{b^2}{m^2 R^4} \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = \left( \frac{2k}{mR^2} - \frac{b^2}{m^2 R^4} \right)^2\)

Dus

\(\left( \frac{2k}{mR^2} - \frac{b^2}{m^2 R^4} \right)^2 > 0 \Leftrightarrow \frac{2k}{mR^2} - \frac{b^2}{m^2 R^4} > 0 \Leftrightarrow k > \frac{-b}{2mR^2}\)

Phys

Zie ook hier

en hier

Rov

Ik snap je topictitel trouwens niet, deze trilling is niet gedempt, wat ik er uit kan afleiden is een soort fysische slinger achtig ding zonder wrijving.

Jeroen

bedankt, dat tweede linkje geeft ook een mooie beschrijving. Het ging me vooral om hoe ik op die cos vergelijking kon komen. Ik weet nog niet of ik het al helemaal begrijp maar ik probeer het nog even uit te zoeken.

Het gaat hier over een torsieslinger en hij is wel gedempt, dit is de opdracht:

Een torsieslinger bestaat uit een massieve dunne schijf met straal R en massa m, die aan een draad met torsiekonstante k hangt. verwaarloos de massa en straal van de draad. Neem aan dat het tegenwerkende krachtmoment ten gevolge van de wrijving gelijk is aan b.ω, met ω de hoeksnelheid van de schijf.

1.leid zelf de formules voor de uitwijkingshoek θ en de trillingstijd van deze gedempte torsieslinger af.

Rov

Ik zou het zo doen:

De tegenwerkende kracht is

\(\tau_1 =- b \omega = -b \frac{d \theta}{dt}\)

De aandrijvende kracht

\(\tau_2 = -\kappa \theta\)

(met kappa de torsieconstante)

De som van de krachtmomenten is:

\( \sum_i \tau_i = \tau_1 + \tau_2 = I \alpha = I \frac{d^2 \theta}{dt} = -\kappa \theta -b \frac{d \theta}{dt}\)

Oftewel

\(I \frac{d^2 \theta}{dt} + b \frac{d \theta}{dt} + \kappa \theta = 0\)

Jeroen

Ja dat gedeelte lukte me wel. Tis alleen dat gedoe met die differentiaalvergelijkingen waar ik moeite mee heb. Het begint te dagen, maar t blijft lastig.

Rov

Daar had ik eerst ook wat moeilijkheden mee. Dit topic is identiek aan de vergelijking die je nu moet oplossen, behalve dat dit voor een roterende ding is. (massa wordt traagheidsmoment, veerconstante wordt torsie constante).

Jeroen

Er wordt hier niet uitgelegd waarom het bv kritische demping is als b^2 = 4mk.

Ik zie dat de term met die wortel dan nul wordt, maar ik heb dan voor r nog wel

-b/2m over, ik weet niet hoe ik kan beredeneren dat er dan sprake is van kritische demping.

kritische demping wil toch zeggen dat de hoeksnelheid van de oscillatie nul is, dus niet oscilleerd.

Jeroen

ok ander voorbeeld:

Dezelfde DV:

\(m \ddot{x} = -b \dot{x} - kx\)

neem

\( \gamma=\frac{b}{2m}\)

en

\(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\)

\(\ddot{x} + 2 \gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0\)

Daar komt uiteindelijk (met de Ansatz:

\( x=e^{\beta t} y \)

) uit:

\(\ddot{y} + (\omega_0^2 - \gamma^2)y = 0\)

Dat even aannemen dat het klopt kun je drie verschillende situaties onderscheiden:

I:

overgedempt:

\(\gamma > \omega_0\)

,

\(\omega^2 = \gamma^2 - \omega_0^2\)

en dus:

\(y=c_1 e^{\omega t} + c_2 e^{-\omega t}\)

En dan zijn er nog twee mogelijkheden, maar ik wil eerst deze eens proberen te begrijpen. Ik snap niet waar

\(y=c_1 e^{\omega t} + c_2 e^{-\omega t}\)

vandaan komt.

Kan iemand me dat uitleggen?

Rov

De oplossing bij dit soort vergelijkingen hangt volledig af van de discriminant of de oplossingen van de karakteristieke vergelijking.

Zijn die alletwee reel, zijn die gelijk, of zijn ze alletwee complex...

Jeroen

de discriminant of karakteristieke vergelijking is in dit geval dus

\(\omega_0^2 - \gamma^2\)

?

dat is dus reeel...

En bij een reeel ding hoort dus blijkbaar zo'n oplossing als deze:

\(y=c_1 e^{\omega t} + c_2 e^{-\omega t}\)

?

Of snap ik er nu helemaal niets van (dat idee heb ik wel).

Rov

Ok, ik zal even alles samenvatten wat we tot nu hebben

.

Je hebt een diffirentiaalvergelijking

\(ax''(t)+bx'(t)+cx(t)=0\)

Deze heeft als karakteristieke vergelijking

\(a\lambda^2+b\lambda+c=0\)

Dan bereken je de discriminant D=b²-4ac.

a) Is de discriminant postief dan krijg je reële uitkomsten voor je karakteristieke vergelijking, stel dat de oplossingen dan \(\lambda_1\) en \(\lambda_2\) zijn. Dan is je oplossing

\(x(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}\)

b) Is de discriminant negatief dan krijg je twee complexe uitkomsten voor je karakteristieke vergelijking, stel dat de oplossingen wederom \(\lambda_1\) en \(\lambda_2\) zijn, die zijn dan van de vorm \(\mu \pm i\omega\). De oplossing is nu:

\(x(t) = e^{\mu t}(c_1 \cos(\omega t) + c_2 \sin(\omega t))\)

c) Is de discriminant nul dan krijg je maar een, reële, uitkomst, hier is \(\lambda_1 = \lambda_2\). De oplossing:

\(x(t) = (c_1 + c_2t)e^{\lambda_1 t}\)

Let wel op dat dit alleen voor homogene vergelijkingen geldt (als het rechterlid van de diff vgl nul is).

Jeroen

Bedankt! Daar heb ik zeker wat aan

. Nu weet ik wel wanneer ik wat moet gebruiken, maar waar die oplossingen vandaan komen is me dan toch nog niet duidelijk. Je berekend dus je discriminant, maar hoe haal je daaruit de oplossing voor x, wat is die connectie, die zie ik niet.

Nu is het namelijk meer een soort handleiding van wanneer je wat moet gebruiken, daar kan ik wel wat mee, maar zou ook graag de achterliggende gedachte willen begrijpen.

Rov

Dat is best een hele boterham meen ik me te herinneren (want daar heb afgelopen maandag examen over gehad

), volgens mij verhuis je daarmee beter naar het wiskunde forum, ik dacht dat er ook nog wat lineaire algebra bij komt kijken enzo...

Leggen ze je niet eerst uit hoe een lineaire diffirentiaal vgl op te lossen alvorens deze leerstof aan te raken?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

[mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)

Re: [mechanica] Gedempte harmonische trilling (differentiaalvergelijking)