laurent reeksen vb

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 581

laurent reeksen vb

Ik heb nog een vraagje:

Op deze site : http://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series

meer specifiek: het voorbeeld
\(f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2i)}\)
Daar hebben ze het over 3 verschillende laurentreeksen voor deze f(z), elk gedefinieerd op een andere 'area'. Ik snap het principe wel, maar ik kom niet tot de formules van deze 3 laurentreeksen.

Kan iemand me even op weg zetten?

Bedankt

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: laurent reeksen vb

Zoals je op die pagina kan lezen, is er een formule voor de coëfficiënten van een Laurentreeks.

Helaas, dat is een complexe kringintegraal die in het algemeen niet zo eenvoudig te bepalen is.

Wat je gewoonlijk zal doen, als het kan, is herschrijven zodat je gekende Taylorreeksen kan gebruiken.

Herschrijf door de breuk te splitsen:
\(\frac{1}{{\left( {z - 1} \right)\left( {z - 2i} \right)}} = \frac{1}{{1 - 2i}}\left( {\frac{1}{{2i - z}} - \frac{1}{{1 - z}}} \right) = \frac{{1 + 2i}}{5}\left( {\frac{1}{{2i}}\frac{1}{{1 - \frac{z}{{2i}}}} - \frac{1}{{1 - z}}} \right)\)
Nu convergeren de Taylorreeksen in het gebied |z| < 1:
\(\frac{1}{{1 - z}} = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {z^k } , , \mbox{ en } , , \frac{1}{{2i}}\frac{1}{{1 - \frac{z}{{2i}}}} = \frac{1}{{2i}}\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\frac{z}{{2i}}} \right)^k } = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{2i}}} \right)^{k + 1} z^k } \)
Invullen:
\(\frac{{1 + 2i}}{5}\left( {\frac{1}{{2i}}\frac{1}{{1 - \frac{z}{{2i}}}} - \frac{1}{{1 - z}}} \right) = \frac{{1 + 2i}}{5}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{2i}}} \right)^{k + 1} z^k } - \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {z^k } } \right)\)
Samennemen:
\(\frac{1}{{\left( {z - 1} \right)\left( {z - 2i} \right)}} = \frac{{1 + 2i}}{5}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\left( {\frac{1}{{2i}}} \right)^{k + 1} z^k - z^k } \right)} } \right) = \frac{{1 + 2i}}{5}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{\left( {2i} \right)^{k + 1} }} - 1} \right)z^k } } \right)\)
Een subtiel trucje is vereist voor de andere gebieden, opdat de Taylorreeksen nog convergeren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: laurent reeksen vb

Splitsen in partieelbreuken met complexe getallen was mij nog onbekend, maar is wel duidelijk nu.

Het 'subtiele' truukje voor het tweede geval werd mij ook duidelijk dankzij deze site:

http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/Co...cSeriesMod.html

meer bepaald onder de corollary 4.2, waar ze het hebben over de convergentie van machtreeksen in het gebied
\(\mid z \mid > 1\)
;

Of door een combinatie van jouw antwoord met de info van de site, voor het derde geval ('de cirkelstrook')

dank.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: laurent reeksen vb

Graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer