Zoals je op die pagina kan lezen, is er een formule voor de coëfficiënten van een Laurentreeks.
Helaas, dat is een complexe kringintegraal die in het algemeen niet zo eenvoudig te bepalen is.
Wat je gewoonlijk zal doen, als het kan, is herschrijven zodat je gekende Taylorreeksen kan gebruiken.
Herschrijf door de breuk te splitsen:
\(\frac{1}{{\left( {z - 1} \right)\left( {z - 2i} \right)}} = \frac{1}{{1 - 2i}}\left( {\frac{1}{{2i - z}} - \frac{1}{{1 - z}}} \right) = \frac{{1 + 2i}}{5}\left( {\frac{1}{{2i}}\frac{1}{{1 - \frac{z}{{2i}}}} - \frac{1}{{1 - z}}} \right)\)
Nu convergeren de Taylorreeksen in het gebied |z| < 1:
\(\frac{1}{{1 - z}} = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {z^k } , , \mbox{ en } , , \frac{1}{{2i}}\frac{1}{{1 - \frac{z}{{2i}}}} = \frac{1}{{2i}}\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\frac{z}{{2i}}} \right)^k } = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{2i}}} \right)^{k + 1} z^k } \)
Invullen:
\(\frac{{1 + 2i}}{5}\left( {\frac{1}{{2i}}\frac{1}{{1 - \frac{z}{{2i}}}} - \frac{1}{{1 - z}}} \right) = \frac{{1 + 2i}}{5}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{2i}}} \right)^{k + 1} z^k } - \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {z^k } } \right)\)
Samennemen:
\(\frac{1}{{\left( {z - 1} \right)\left( {z - 2i} \right)}} = \frac{{1 + 2i}}{5}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\left( {\frac{1}{{2i}}} \right)^{k + 1} z^k - z^k } \right)} } \right) = \frac{{1 + 2i}}{5}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{\left( {2i} \right)^{k + 1} }} - 1} \right)z^k } } \right)\)
Een subtiel trucje is vereist voor de andere gebieden, opdat de Taylorreeksen nog convergeren.