[Wiskunde] Complexe getallen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 17-02-'07, 16:04

De Neus

Berichten: 7

[Wiskunde] Complexe getallen

Ik ben net de zoekmachine aan het doorspitten geweest, maar kon geen antwoord vinden op mijn vraag. Deze luidt namelijk zo:

Gegeven is de formule z = (-1+i)^(1/3). Van deze formule moet ik arg(z) en |z| bepalen, maar ik loop een beetje vast.

Het leek mij handig om deze formule om te rekenen naar z = r (cos (φ) + i sin (φ)).

De formule buig ik dan om tot z³ = -1 + i. Dus dan krijg je ook z³ = r³ (cos (φ) + i sin (φ))³ en later z³ = r³ (cos (3φ) + i sin (3φ))

Je hebt dan r³ = -1. Dus r = -1, toch? Maar hoe bepaal je hieruit het argument. Het lukt me niet die laatste stap te zetten. Iemand help? Alvast bedankt.
Omhoog

Bericht 17-02-'07, 16:09

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [Wiskunde] Complexe getallen

Ik zou beginnen met:
\(-1 + i = \sqrt{2} \cdot e^{i \frac{3}{4} \pi}\)
zie o.a. http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula (ik krijg het niet voor elkaar om de apostrofe goed te krijgen...)
Omhoog

Bericht 17-02-'07, 16:12

De Neus

Berichten: 7

Re: [Wiskunde] Complexe getallen

Ohja, oeps, de modulus is natuurlijk wortel 2. Maar waar tover je die 3/4 vandaan?
Omhoog

Bericht 17-02-'07, 16:26

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [Wiskunde] Complexe getallen

Maar waar tover je die 3/4 vandaan?
Teken de vector -1+i eens in het complexe vlak.
Omhoog

Bericht 17-02-'07, 16:31

De Neus

Berichten: 7

Re: [Wiskunde] Complexe getallen

Haha dankje, 3/4π is natuurlijk het argument van -1+i. Om ff terug te gaan naar mijn formule.

Ik zit nu dus op een modulus r³ = √2 en het argument is 3φ = 3/4π + 2kπ. Oftwel, φ= 1/4 π + 2/3kπ. Is dat correct?

Danku!
Omhoog

Bericht 17-02-'07, 16:39

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [Wiskunde] Complexe getallen

zie o.a. http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula (ik krijg het niet voor elkaar om de apostrofe goed te krijgen...)
Vervangen door %27 :)

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 19-02-'07, 00:02

Heezen

Berichten: 481

Re: [Wiskunde] Complexe getallen

\(iz^2=\frac{1}{2}\)
Volgens het antwoordenblad zijn er twee oplossingen, ik zelf kom op 4.. [rr]

De
\(r\)
klopt volgens mij wel ( wat ik heb), maar ik hem mn twijfels over de
\(\phi\)
.. De phi waarde van
\(\frac{1}{2}\)
is 0, - het maakt immers geen hoek met de x-as.. En aangezien het
\(iz^2\)
is, zou dus
\(2 \phi = 0 + k2\pi\)
..

En zou phi dus 1pi kunnen.. Maar blijkbaar kan phi enkel de waarde 0 hebben..

:)

Wat doe ik fout? :)

(PS: Ik vond het een beetje onnodig om een niewe topic te sluiten over deze vraag.)
Omhoog

Bericht 19-02-'07, 00:13

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [Wiskunde] Complexe getallen

Heezen schreef:
\(iz^2=\frac{1}{2}\)
Volgens het antwoordenblad zijn er twee oplossingen, ik zelf kom op 4..   [rr]

De
\(r\)
klopt volgens mij wel ( wat ik heb), maar ik hem mn twijfels over de  
\(\phi\)
.. De phi waarde van
\(\frac{1}{2}\)
is 0, - het maakt immers geen hoek met de x-as.. En aangezien het
\(iz^2\)
is, zou dus
\(2 \phi = 0 + k2\pi\)
..

En zou phi dus  1pi kunnen.. Maar blijkbaar kan phi enkel de waarde 0 hebben..
Omdat
\(i\cdot z^2\)
een argument (phi) van 0 heeft, heeft z2 dus een argument van
\(\frac32\pi\)
.

Het argument van z kan daarom
\(\frac34\pi\)
of
\(\frac74\pi\)
zijn.

Welke vier oplossingen heb jij? (volgens mij zijn er inderdaad maar twee namelijk)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 19-02-'07, 09:13

Heezen

Berichten: 481

Re: [Wiskunde] Complexe getallen

\( z= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i , z= \frac {1}{2} - \frac{1}{2}i\)


Zegt het antwoorden blad..

De vier oplossingen die ik had gevonden waren deze twee boven + twee omdat ik als argument ook
\(\pi\)
nam.

[rr]
Omhoog

Bericht 19-02-'07, 09:18

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [Wiskunde] Complexe getallen

Ah ok, maar zie je nu waarom dat niet kan?

Als
\(\arg(z)=\pi\)
, dan
\(\arg(z^2)=0\)
en dus
\(\arg(i\cdot z^2)=\arg(i)=\frac12\pi\)
. En dan kan het nooit
\(\frac12\)
zijn.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”