Ik zal de volledige opgave er maar even bijgeven, dat maakt het misschien toch wat duidelijker:
Een snaar met massadichtheid ρ1, lengte L en spanning S, en een snaar met gelijke lengte en spanning, maar massadichtheid ρ2 worden aan een uiteinde aan elkaar vast gemaakt, een afstand 2L van elkaar verwijderd (zie figuur).
De vraag:
Laat zien dat de frequenties ω van de eigentrillingen van dit systeem voldoen aan de relatie:
\(v_1 \tan \left( \frac{\omega L}{v_1} \right) = -v_2 \tan \left( \frac{\omega L}{v_2} \right)\)
Ik heb de volgende vergelijkingen gehad voor de twee golffuncties:\(\psi_1 = [A_1 \cos(k_1 x) + B_1 \sin(k_1 x)] \cos(\omega_1 t - \phi_1)\)
\(\psi_2 = [A_2 \cos(k_2 x) + B_2 \sin(k_2 x)] \cos(\omega_2 t - \phi_2)\)
De volgende eisen kunnen worden gestelt:(I)
\(\psi_1(-L) = 0\)
(III)\(\psi_2(L) = 0\)
(III)\(\frac{d\psi_1}{dx}\vert_x_0 = \frac{d\psi_2}{dx}\vert_x_0\)
(IV)\(\psi_1(x_0) = \psi_1(x_0)\)
Hiermee heb ik zelf wat pogingen gedaan:Door in (IV) nul in te vullen volgt:
\(A_1\cos(\omega_1 t - \phi_1) = A_2\cos(\omega_2 t - \phi_2)\)
(V)en door psi 1 en 2 af te leiden naar x en daar nul in te vullen kreeg ik:
\(B_1k_1\cos(-\omega_1 t + \phi_1) = B_2k_2\cos(-\omega_2 t + \phi_2)\)
(VI)Nu zal ik toch ergens een keer wat weg moeten kunnen werken, maar ik zie niet hoe. Kan iemand me in de goede richting wijzen, ben ik zo eigenlijk al wel goed onderweg?
Update:
Ik heb nog wel wat kunnen vinden uit (I) en (II):
\(\frac{A_1}{B_1} = \tan(k_1 L)\)
(VII)\(\frac{A_2}{B_2} = -\tan(k_2 L)\)
(VIII)en door (III) en (IV) om te schrijven volgt ook:
\(\frac{A_1}{B_1} k_2 = \frac{A_2}{B_2} k_1\)
(IX)Ik hoop dat het nog een beetje te doen is, maar mijn probleem blijft hetzelfde, ik zit weer vast.
