[wiskunde] differentieerbaarheid van functies

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 175

[wiskunde] differentieerbaarheid van functies

(a) Zij f: R>R continue in 0 en zij g: R>R gedefinieerd door g(x) = x f(x), voor x in R. Bewijs dat g differentieerbaar is in 0.

Berichten: 76

Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies

hint: f is CONTINU.

Berichten: 175

Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies

hint: f is CONTINU.


Ja, dat weet ik. Welke stelling of welk lemma kunnen we gebruiken om te bewijzen dat als een functie in een bepaald punt continue is, dat dan de functie in dat punt ook differentieerbaar is?

Berichten: 76

Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies

(a) Zij f: R>R continue in 0 en zij g: R>R gedefinieerd door g(x) = x f(x), voor x in R. Bewijs dat g differentieerbaar is in 0.
"Elke differentieerbare functie is continu, maar niet elke continue functie is differentieerbaar"
Bewijs dat g differentieerbaar is in 0.
Voor elke g... om moet je gewoon een g zoeken? Indien je gewoon een g zoekt die differentieerbaar is, dan is dit niet zo moeilijk. Maar je kan de stelling dus niet veralgemenen volgens mij.

Berichten: 175

Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies

Als de limiet van x naar a van (f(x) - f(a)) / (x - a) = b, met b in R, bestaat, dan is f(x) in het punt a differentieerbaar. Klopt dat? Dat heb ik volgens mij nodig. Maar hoe kan ik hier continuiteit bij betrekken?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies

Aangezien f continu is in x = 0, geldt daar:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)
Differentieerbaarheid van g(x) uitschrijven en dit gebruiken:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g\left( x \right) - g\left( a \right)}}{{x - a}} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g\left( x \right) - g\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{xf\left( x \right) - 0f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 175

Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies

Oke, dankjewel. Stel dat f een begrensde functie is, d.w.z. dat er een M>0 bestaat zodat abs( f(x) ) kleiner of gelijk is aan M voor alle x in R. Zij g(x) = x^2 f(x) met x in R. Hoe kan ik dan aantonen dat g differentieerbaar is in 0?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g\left( x \right) - g\left( a \right)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{x^2 f\left( x \right) - a^2 f\left( a \right)}}{{x - a}} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x^2 f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} xf\left( x \right)\)


Gegeven is dat f begrensd is, 0*begrensd = 0, de limiet is dus 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 175

Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies

Ik heb nog een soortgelijke vraag:

Toon aan dat de functie h: R -> R gedefinieerd door h(x) = x^2 sin (1/x) voor R ongelijk aan 0 en h(0)=0, differentieerbaar is in 0. En laat met behulp van h'(0) zien dat de functie h' niet continue is in 0.

Het lijkt me niet een hele moeilijke vraag, maar zit toch een beetje met de formulering...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies

\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h^2 \sin \left( {\frac{1}{h}} \right) - 0}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} h\sin \left( {\frac{1}{h}} \right) = 0\)
De afgeleide:
\(\left( {x^2 \sin \left( {\frac{1}{x}} \right)} \right)^\prime = 2x\sin \left( {\frac{1}{x}} \right) - \cos \left( {\frac{1}{x}} \right)\)
Heeft deze een limiet voor x naar 0?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 175

Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies

TD! schreef:
\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h^2 \sin \left( {\frac{1}{h}} \right) - 0}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} h\sin \left( {\frac{1}{h}} \right) = 0\)
De afgeleide:
\(\left( {x^2 \sin \left( {\frac{1}{x}} \right)} \right)^\prime   = 2x\sin \left( {\frac{1}{x}} \right) - \cos \left( {\frac{1}{x}} \right)\)
Heeft deze een limiet voor x naar 0?
Nee, inderdaad niet, dus is de afgeleide functie niet continue in het punt 0 :wink:

Er zijn ook vragen die omgekeerd gaan. Die vind ik zelf ook nogal lastig. Als bijvoorbeeld van een functie f: R->R gegeven is dat hij differentieerbaar is in 0, dat f(0)=0 en dat f(x)=x g(x), met x in R. Hoe kan ik dan aantonen dat er een functie g: R->R bestaat, die continue is in 0?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies

Er zijn ook vragen die omgekeerd gaan. Die vind ik zelf ook nogal lastig. Als bijvoorbeeld van een functie f: R->R gegeven is dat hij differentieerbaar is in 0, dat f(0)=0 en dat f(x)=x g(x), met x in R. Hoe kan ik dan aantonen dat er een functie g: R->R bestaat, die continue is in 0?
Uitschrijven van afleidbaarheid van f in x = 0:
\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( h \right)}}{h} = f'\left( 0 \right)\)
Maar f(x) is te schrijven x.g(x), dus dan weten we:
\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( h \right)}}{h} = f'\left( 0 \right) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h \cdot g\left( h \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( h \right) = f'\left( 0 \right)\)
En dit is precies continuïteit van g in x = 0, met als functiewaarde f'(0).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer