[wiskunde] differentieerbaarheid van functies
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 175
[wiskunde] differentieerbaarheid van functies
(a) Zij f: R>R continue in 0 en zij g: R>R gedefinieerd door g(x) = x f(x), voor x in R. Bewijs dat g differentieerbaar is in 0.
-
- Berichten: 175
Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies
hint: f is CONTINU.
Ja, dat weet ik. Welke stelling of welk lemma kunnen we gebruiken om te bewijzen dat als een functie in een bepaald punt continue is, dat dan de functie in dat punt ook differentieerbaar is?
-
- Berichten: 76
Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies
"Elke differentieerbare functie is continu, maar niet elke continue functie is differentieerbaar"(a) Zij f: R>R continue in 0 en zij g: R>R gedefinieerd door g(x) = x f(x), voor x in R. Bewijs dat g differentieerbaar is in 0.
Voor elke g... om moet je gewoon een g zoeken? Indien je gewoon een g zoekt die differentieerbaar is, dan is dit niet zo moeilijk. Maar je kan de stelling dus niet veralgemenen volgens mij.Bewijs dat g differentieerbaar is in 0.
-
- Berichten: 175
Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies
Als de limiet van x naar a van (f(x) - f(a)) / (x - a) = b, met b in R, bestaat, dan is f(x) in het punt a differentieerbaar. Klopt dat? Dat heb ik volgens mij nodig. Maar hoe kan ik hier continuiteit bij betrekken?
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies
Aangezien f continu is in x = 0, geldt daar:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)
Differentieerbaarheid van g(x) uitschrijven en dit gebruiken:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g\left( x \right) - g\left( a \right)}}{{x - a}} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g\left( x \right) - g\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{xf\left( x \right) - 0f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 175
Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies
Oke, dankjewel. Stel dat f een begrensde functie is, d.w.z. dat er een M>0 bestaat zodat abs( f(x) ) kleiner of gelijk is aan M voor alle x in R. Zij g(x) = x^2 f(x) met x in R. Hoe kan ik dan aantonen dat g differentieerbaar is in 0?
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g\left( x \right) - g\left( a \right)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{x^2 f\left( x \right) - a^2 f\left( a \right)}}{{x - a}} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x^2 f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} xf\left( x \right)\)
Gegeven is dat f begrensd is, 0*begrensd = 0, de limiet is dus 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 175
Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies
Ik heb nog een soortgelijke vraag:
Toon aan dat de functie h: R -> R gedefinieerd door h(x) = x^2 sin (1/x) voor R ongelijk aan 0 en h(0)=0, differentieerbaar is in 0. En laat met behulp van h'(0) zien dat de functie h' niet continue is in 0.
Het lijkt me niet een hele moeilijke vraag, maar zit toch een beetje met de formulering...
Toon aan dat de functie h: R -> R gedefinieerd door h(x) = x^2 sin (1/x) voor R ongelijk aan 0 en h(0)=0, differentieerbaar is in 0. En laat met behulp van h'(0) zien dat de functie h' niet continue is in 0.
Het lijkt me niet een hele moeilijke vraag, maar zit toch een beetje met de formulering...
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies
\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h^2 \sin \left( {\frac{1}{h}} \right) - 0}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} h\sin \left( {\frac{1}{h}} \right) = 0\)
De afgeleide:\(\left( {x^2 \sin \left( {\frac{1}{x}} \right)} \right)^\prime = 2x\sin \left( {\frac{1}{x}} \right) - \cos \left( {\frac{1}{x}} \right)\)
Heeft deze een limiet voor x naar 0?"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 175
Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies
Nee, inderdaad niet, dus is de afgeleide functie niet continue in het punt 0TD! schreef:\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h^2 \sin \left( {\frac{1}{h}} \right) - 0}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} h\sin \left( {\frac{1}{h}} \right) = 0\)De afgeleide:
\(\left( {x^2 \sin \left( {\frac{1}{x}} \right)} \right)^\prime = 2x\sin \left( {\frac{1}{x}} \right) - \cos \left( {\frac{1}{x}} \right)\)Heeft deze een limiet voor x naar 0?
Er zijn ook vragen die omgekeerd gaan. Die vind ik zelf ook nogal lastig. Als bijvoorbeeld van een functie f: R->R gegeven is dat hij differentieerbaar is in 0, dat f(0)=0 en dat f(x)=x g(x), met x in R. Hoe kan ik dan aantonen dat er een functie g: R->R bestaat, die continue is in 0?
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] differentieerbaarheid van functies
Uitschrijven van afleidbaarheid van f in x = 0:Er zijn ook vragen die omgekeerd gaan. Die vind ik zelf ook nogal lastig. Als bijvoorbeeld van een functie f: R->R gegeven is dat hij differentieerbaar is in 0, dat f(0)=0 en dat f(x)=x g(x), met x in R. Hoe kan ik dan aantonen dat er een functie g: R->R bestaat, die continue is in 0?
\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( h \right)}}{h} = f'\left( 0 \right)\)
Maar f(x) is te schrijven x.g(x), dus dan weten we:\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( h \right)}}{h} = f'\left( 0 \right) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h \cdot g\left( h \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( h \right) = f'\left( 0 \right)\)
En dit is precies continuïteit van g in x = 0, met als functiewaarde f'(0)."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)