Wetenschapsforum

(a) Zij f: R>R continue in 0 en zij g: R>R gedefinieerd door g(x) = x f(x), voor x in R. Bewijs dat g differentieerbaar is in 0.

hint: f is CONTINU.

hint: f is CONTINU.

Ja, dat weet ik. Welke stelling of welk lemma kunnen we gebruiken om te bewijzen dat als een functie in een bepaald punt continue is, dat dan de functie in dat punt ook differentieerbaar is?

(a) Zij f: R>R continue in 0 en zij g: R>R gedefinieerd door g(x) = x f(x), voor x in R. Bewijs dat g differentieerbaar is in 0.

"Elke differentieerbare functie is continu, maar niet elke continue functie is differentieerbaar"

Bewijs dat g differentieerbaar is in 0.

Voor elke g... om moet je gewoon een g zoeken? Indien je gewoon een g zoekt die differentieerbaar is, dan is dit niet zo moeilijk. Maar je kan de stelling dus niet veralgemenen volgens mij.

Als de limiet van x naar a van (f(x) - f(a)) / (x - a) = b, met b in R, bestaat, dan is f(x) in het punt a differentieerbaar. Klopt dat? Dat heb ik volgens mij nodig. Maar hoe kan ik hier continuiteit bij betrekken?

Aangezien f continu is in x = 0, geldt daar:
Differentieerbaarheid van g(x) uitschrijven en dit gebruiken:

Oke, dankjewel. Stel dat f een begrensde functie is, d.w.z. dat er een M>0 bestaat zodat abs( f(x) ) kleiner of gelijk is aan M voor alle x in R. Zij g(x) = x^2 f(x) met x in R. Hoe kan ik dan aantonen dat g differentieerbaar is in 0?

Gegeven is dat f begrensd is, 0*begrensd = 0, de limiet is dus 0.

Ik heb nog een soortgelijke vraag:

Toon aan dat de functie h: R -> R gedefinieerd door h(x) = x^2 sin (1/x) voor R ongelijk aan 0 en h(0)=0, differentieerbaar is in 0. En laat met behulp van h'(0) zien dat de functie h' niet continue is in 0.

Het lijkt me niet een hele moeilijke vraag, maar zit toch een beetje met de formulering...

De afgeleide:
Heeft deze een limiet voor x naar 0?

TD! schreef:

\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h^2 \sin \left( {\frac{1}{h}} \right) - 0}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} h\sin \left( {\frac{1}{h}} \right) = 0\)

De afgeleide:

\(\left( {x^2 \sin \left( {\frac{1}{x}} \right)} \right)^\prime   = 2x\sin \left( {\frac{1}{x}} \right) - \cos \left( {\frac{1}{x}} \right)\)

Heeft deze een limiet voor x naar 0?

Nee, inderdaad niet, dus is de afgeleide functie niet continue in het punt 0

Er zijn ook vragen die omgekeerd gaan. Die vind ik zelf ook nogal lastig. Als bijvoorbeeld van een functie f: R->R gegeven is dat hij differentieerbaar is in 0, dat f(0)=0 en dat f(x)=x g(x), met x in R. Hoe kan ik dan aantonen dat er een functie g: R->R bestaat, die continue is in 0?

Er zijn ook vragen die omgekeerd gaan. Die vind ik zelf ook nogal lastig. Als bijvoorbeeld van een functie f: R->R gegeven is dat hij differentieerbaar is in 0, dat f(0)=0 en dat f(x)=x g(x), met x in R. Hoe kan ik dan aantonen dat er een functie g: R->R bestaat, die continue is in 0?

Uitschrijven van afleidbaarheid van f in x = 0:
Maar f(x) is te schrijven x.g(x), dus dan weten we:
En dit is precies continuïteit van g in x = 0, met als functiewaarde f'(0).