[Wiskunde]Complexe getallen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 2.504

[Wiskunde]Complexe getallen

In onze klassen gebruiken we de letter j voor het complexe deel, sinds de docenten geen verwarring willen tussen stroomsterkte

"Los volgende biniomiaalvergelijking op in C en schrijf de oplossingen indien mogelijk in algebraïsche gedaante:
\(z^3 = -\sqrt{3} + j\)
"

Ik kom steeds opnieuw hetzelfde als de opgave uit [rr] is echt frustrerend...

en dan nog iets waar ik helemaal niet weet hoe aan te beginnen...

"Toon aan dat alle oplossingen in C van de vergelijking
\( (z + 1)^{88} + (z - 1)^{88} = 0\)
zuiver imaginair zijn."

Voor hen die het niet zouden kennen:
\(z = x + y \cdot j\)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [Wiskunde]Complexe getallen

\(z^3 = -\sqrt{3} + j\)
\(\tan (\theta) = \frac{1}{-\sqrt{3}}\)
\(\theta = 5\pi/6\)
\(r=\sqrt(3+1)=2\)

\(z_0=2 e^{j 5 \pi / 12}\)

\(z_1=2 e^{j 17 \pi / 12}\)

\(z_2=2 e^{j 29 \pi / 12}\)


de andere moet 'k nog ff zoeken
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 7.068

Re: [Wiskunde]Complexe getallen

jhnbk was op de goede weg, maar mist helaas de afslag...
\(z^3 = -\sqrt{3} + j = 2 e^{j (\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k)\)
(de \(2 \pi k\) is nodig omdat elk 'rondje' in het complex vlak wederom een correcte oplossing geeft, k is een natuurlijk getal).
\(z = (2 e^{j (\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k)})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2} e^{j (\frac{5 \pi}{18} + \frac{2}{3} \pi k)\)
\(z = \sqrt[3]{2} e^{j \pi (\frac{5}{18} + \frac{12}{18} k)\)
Nu k=0, 1, 2 invullen voor oplossingen (hogere k's zijn weer gelijk aan deze oplossingen aangezien de exponent dan 2 pi verschoven is).

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [Wiskunde]Complexe getallen

excuses, 'k heb dus gedeeld door 2 ipv door 3
\(z_0=2 e^{j 5 \pi / 18}\)
\(z_1=2 e^{j 17 \pi / 18}\)
\(z_2=2 e^{j 29 \pi / 18}\)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [Wiskunde]Complexe getallen

"Toon aan dat alle oplossingen in C van de vergelijking
\( (z + 1)^{88} + (z - 1)^{88} = 0\)
zuiver imaginair zijn."  
hopelijk is het juist wat ik nu beweer.

Bij het uitrekenen van de twee machten en optellen vallen alle termen met oneven macht tegen elkaar weg. er staat dan iets van de vorm
\(2z^{88} + a_1 z^{86} + ... + a_{43} z^2 + 2\)
vermits men een reëel getal moet uitkomen moeten al deze factoren wegvallen (lees j moet wegvallen)

als men een complex getal van de vorm a+bj neemt valt de j niet weg bij het zetten tot een even macht, dus moeten ze zuiver imaginair zijn.

Kan iemand dit bevestigen?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 2.504

Re: [Wiskunde]Complexe getallen

Het zetten van een even macht kun je toch ook schrijven als een vermenigvuldiging van dat getal^2 van een bepaald aantal keren.

zo bijvoorbeeld:
\(j^6 = j^2 \cdot j^2 \cdot j^2\)
met
\(j^2 = -1\)
dus komt je een geheel getal uit, wat niet imaginair kan zijn.

Of zie ik iets over het hoofd?

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [Wiskunde]Complexe getallen

neen dat klopt, maar dat heb je pas nodig na het 'uitwerken' van de termen
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Re: [Wiskunde]Complexe getallen

Als
\( (z + 1)^{88} + (z - 1)^{88} = 0\)
, dan
\( (z + 1)^{88} = -(z - 1)^{88}\)
en daar
\(z=1\)
geen oplossing is
\(\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^{88} = -1\)
Links en rechts de absolute waarden nemen geeft, daar uit
\(a^{88}=1\)
volgt a=1 als a reëel is,
\(|\frac{z+1}{z-1}| = 1\)
ofwel
\(|z+1| = |z-1|\)
Kijk goed wat hier staat: De afstand van z tot 1 is gelijk aan de afstand van z tot -1.

Teken een plaatje en zie dat dit de punten op de y-as zijn.

Dus alle oplossingen zijn zuiver imaginair.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [Wiskunde]Complexe getallen

mooi!
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Re: [Wiskunde]Complexe getallen

"daar uit
\(a^{88}=1\)
volgt a=1 als a reëel is" moet zijn

daar uit
\(a^{88}=1\)
volgt a=1 als a positief is.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [Wiskunde]Complexe getallen

Zie ook hier, zelfde vraag.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer