\(f(x) = \sqrt{x(1-x)}\)
Het domein van deze functie is [-1,1].Daarbuiten is de functie niet gedefinieerd.
Bekijk nu de functie
\(F(x,y) = \sqrt{(x-y)(1-(x-y))}\)
De grafiek van \(x \mapsto F(x,y)\)
is identiek aan die van f, maar y naar rechts verschoven, zodat x nu slechts gedefinieerd is in [y-1,y+1].We veranderen even de y in een t, om tijd te suggereren.
Nu is (mag je van me aannemen)
\(\frac{\partial F(x,t)}{\partial t} = \frac{2(x-t)-1}{2F(x,t)}\)
Het domein van
\(x \mapsto F(x,t)\)
is afhankelijk van de tijd t, dus met \(\frac{\partial F(x,t)}{\partial t}\)
ben je lokaal (op een vaste plek x) bezig de verandering van F in de tijd te beschrijven.De beweging van het domein ontgaat je daarbij.
De totale afgeleide
\(\frac{dF(x,t)}{dx} = \frac{\partial F(x,t)}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial F(x,t)}{\partial t}\frac{dt}{dt}\)
Hierin is \(\frac{\partial F(x,t)}{\partial t}\)
de lokale verandering van F en\(\frac{\partial F(x,t)}{\partial x}\frac{dx}{dt}\)
de verandering van F veroorzaakt door het meevoeren (met plaatselijke snelheid \(\frac{dx}{dt}\)
)van de verandering in x
\(\frac{\partial F(x,t)}{\partial x}\)
.Dit laatste zorgt voor de verplaatsing van het domein.
