Convergeren
- Berichten: 3.330
Convergeren
Bepaal al de waarden van x, waarvoor volgende reeksen convergeren:
\(1+\frac{1}{2}x+\frac{1.3}{2.4}x^2+\frac{1.3.5}{2.4.6}x^3+...\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: Convergeren
De k-de term is
\(\frac{1\cdot3\cdot 5\cdots (2k-1)}{2\cdot4\cdot 6\cdots 2k} = \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots 2k}{(2\cdot4\cdot 6\cdots 2k)^2} = \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}\)
De convergentiestraal is (mits de limiet bestaat)\(\lim_{k \to \infty}\frac{1}{\sqrt[k]{ \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}}}\)
of ook (mits limiet bestaat) (de coeff. noem ik \(a_k\)
)\(\lim_{k \to \infty}\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{\frac{(2k)!}{2^{2k}k!^2}}{\frac{(2k+2)!}{2^{2k+2}(k+1)!^2}} =\)
\(\lim_{k \to \infty}\frac{4(k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)} = 1\)
- Berichten: 3.330
Re: Convergeren
Bedoelt ge met convergentiestraal dat de reeks convergeert voor -1<x<1, of zijn -1 en 1 inbegrepen.Ik heb de indruk dat voor -1 en 1 de n de term naar 1 gaat en niet naar 0, wat zou moeten als de reeks convergeert.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: Convergeren
Dat din convergeert voor x=-1, maar niet voor x=1.
De functie is gelijk aan
De functie is gelijk aan
\(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\)
- Berichten: 3.330
Re: Convergeren
Je posting begrijp ik niet.
Zij x= 1.
Zij x= 1.
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1.3.5...(2n-3)}{2.4.6...(2n-2)}\)
Ik kan het niet bewijzen,maar naar mijn gevoel is hij 1. Dus gaat niet naar 0 dus de reeks kan niet convergeren.Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: Convergeren
Nee, die limiet is 0.
De reeks convergeert niet voor x=1, maar wel voor x=-1
Dit kun je aantonen door telkens 2 naburige termen onder een noemer te brengen, dus
De reeks convergeert niet voor x=1, maar wel voor x=-1
\(1-\frac{1}{2}+\frac{1.3}{2.4}-\frac{1.3.5}{2.4.6}+...\)
Dit kun je aantonen door telkens 2 naburige termen onder een noemer te brengen, dus
\((1-\frac{1}{2})+(\frac{1.3}{2.4}-\frac{1.3.5}{2.4.6})+...\)
- Berichten: 3.330
Re: Convergeren
Ik kan niet bewijzen dat de limiet 1 is, noch kan ik bewijzen dat hij 0 is. Men krijgt / . Men zou hier misschien de l'hopital kunnen toepassen?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 7.068
Re: Convergeren
Je moet je gevoel even aanpassen. Als je een positief getal vermenigvuldigt met een getal kleiner dan 1 (en groter dan nul) dan zal dat getal kleiner worden. Je 'begint' metkotje schreef:Zij x= 1.
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1.3.5...(2n-3)}{2.4.6...(2n-2)}\)Ik kan het niet bewijzen,maar naar mijn gevoel is hij 1.
\(\frac{1}{2}\)
. Dat is al kleiner dan 1. Je kan dus nooit op 1 uitkomen.Re: Convergeren
Bewijs 1:
Er geldt de volgende stelling: (
Per definitie is een product divergent als de productreeks limiet 0 heeft.
dus divergeert het product.
De limiet bestaat (dalende, begrensde rij), dus de limiet is 0.
Bewijs 2:
Rechtstreeks gevolg van het product van Wallis:
Er geldt de volgende stelling: (
\(a_i\geq 0\)
voor alle i)\(\prod (1+a_n)\)
convergeert \(\Leftrightarrow \sum a_n\)
convergeert.Per definitie is een product divergent als de productreeks limiet 0 heeft.
\(\prod_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n+1} = \prod_{n=0}^{\infty}(1-\frac{1}{n+1})\)
Nu is \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1} = \infty\)
,dus divergeert het product.
De limiet bestaat (dalende, begrensde rij), dus de limiet is 0.
Bewijs 2:
Rechtstreeks gevolg van het product van Wallis:
\(\lim_{n \to \infty}\frac{(n!)^2 4^n}{(2n)! \sqrt{n}} = \sqrt{\pi}\)
- Berichten: 3.330
Re: Convergeren
Je moet je gevoel even aanpassen. Als je een positief getal vermenigvuldigt met een getal kleiner dan 1 (en groter dan nul) dan zal dat getal kleiner worden. Je 'begint' met\(\frac{1}{2}\). Dat is al kleiner dan 1. Je kan dus nooit op 1 uitkomen.
De teller gaat naar de noemer ook. gedeelt door daar moet ge mee oppassen. Trouwens zegt je gevoel dat de limiet 0 is? Trouwens ik heb het uit een boek, waarin men zonder bewijs beweert dat de limiet 1 is. Hoe men daar aankomt is voor mij een raadsel, maar naar mijn gevoel kunnen ze gelijk hebben.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: Convergeren
Heb je mijn reactie niet gelezen dan. Ik heb nog wel 2 bewijzen gegeven.maar naar mijn gevoel kunnen ze gelijk hebben.
-
- Berichten: 7.068
Re: Convergeren
Leuk, maar niet relevant. Elke iteratie van het product wordt weer kleiner. Je begint op een half, dus het is niet mogelijk om bij 1 uit te komen, zelfs niet als je oneindig veel iteraties doet.De teller gaat naar de noemer ook.
Het zou mij niet verbazen, maar ik zou dat niet meteen aannemen. Daarover ging mijn commentaar dan ook niet. Die ging slechts over de opmerking dat je gevoel een optie aangaf die niet kan op basis van een simpel argument.Trouwens zegt je gevoel dat de limiet 0 is?
Dan heb je of niet goed in het boek gekeken, of het boek bevat een fout.Trouwens ik heb het uit een boek, waarin men zonder bewijs beweert dat de limiet 1 is.
Er is al op meerdere manieren aangetoond dat dit niet zo is en dat je gevoel het mis heeft.Hoe men daar aankomt is voor mij een raadsel, maar naar mijn gevoel kunnen ze gelijk hebben.
- Berichten: 3.330
Re: Convergeren
@Peterpan Neen excuseer. Zal ik even doen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 3.330
Re: Convergeren
@Evilbro Ik heb nog eens gekeken en het staat er zwart op wit.Het verbaast mij dat zo'n boek zo een fout kan maken. Ik geef toe dat jouw argument logisch is.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?