Convergeren

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Convergeren

Bepaal al de waarden van x, waarvoor volgende reeksen convergeren:
\(1+\frac{1}{2}x+\frac{1.3}{2.4}x^2+\frac{1.3.5}{2.4.6}x^3+...\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Re: Convergeren

De k-de term is
\(\frac{1\cdot3\cdot 5\cdots (2k-1)}{2\cdot4\cdot 6\cdots 2k} = \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots 2k}{(2\cdot4\cdot 6\cdots 2k)^2} = \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}\)
De convergentiestraal is (mits de limiet bestaat)
\(\lim_{k \to \infty}\frac{1}{\sqrt[k]{ \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}}}\)
of ook (mits limiet bestaat) (de coeff. noem ik
\(a_k\)
)
\(\lim_{k \to \infty}\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{\frac{(2k)!}{2^{2k}k!^2}}{\frac{(2k+2)!}{2^{2k+2}(k+1)!^2}} =\)
\(\lim_{k \to \infty}\frac{4(k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)} = 1\)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Convergeren

Bedoelt ge met convergentiestraal dat de reeks convergeert voor -1<x<1, of zijn -1 en 1 inbegrepen.Ik heb de indruk dat voor -1 en 1 de n de term naar 1 gaat en niet naar 0, wat zou moeten als de reeks convergeert.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Re: Convergeren

Dat din convergeert voor x=-1, maar niet voor x=1.

De functie is gelijk aan
\(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Convergeren

Je posting begrijp ik niet.

Zij x= :) 1.
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1.3.5...(2n-3)}{2.4.6...(2n-2)}\)
Ik kan het niet bewijzen,maar naar mijn gevoel is hij 1. Dus gaat niet naar 0 dus de reeks kan niet convergeren.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Re: Convergeren

Nee, die limiet is 0.

De reeks convergeert niet voor x=1, maar wel voor x=-1
\(1-\frac{1}{2}+\frac{1.3}{2.4}-\frac{1.3.5}{2.4.6}+...\)


Dit kun je aantonen door telkens 2 naburige termen onder een noemer te brengen, dus
\((1-\frac{1}{2})+(\frac{1.3}{2.4}-\frac{1.3.5}{2.4.6})+...\)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Convergeren

Ik kan niet bewijzen dat de limiet 1 is, noch kan ik bewijzen dat hij 0 is. Men krijgt :) / :) . Men zou hier misschien de l'hopital kunnen toepassen?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 7.068

Re: Convergeren

kotje schreef:Zij x= :) 1.
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1.3.5...(2n-3)}{2.4.6...(2n-2)}\)
Ik kan het niet bewijzen,maar naar mijn gevoel is hij 1.
Je moet je gevoel even aanpassen. Als je een positief getal vermenigvuldigt met een getal kleiner dan 1 (en groter dan nul) dan zal dat getal kleiner worden. Je 'begint' met
\(\frac{1}{2}\)
. Dat is al kleiner dan 1. Je kan dus nooit op 1 uitkomen.

Re: Convergeren

Bewijs 1:

Er geldt de volgende stelling: (
\(a_i\geq 0\)
voor alle i)
\(\prod (1+a_n)\)
convergeert
\(\Leftrightarrow \sum a_n\)
convergeert.

Per definitie is een product divergent als de productreeks limiet 0 heeft.
\(\prod_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n+1} = \prod_{n=0}^{\infty}(1-\frac{1}{n+1})\)
Nu is
\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1} = \infty\)
,

dus divergeert het product.

De limiet bestaat (dalende, begrensde rij), dus de limiet is 0.

Bewijs 2:

Rechtstreeks gevolg van het product van Wallis:
\(\lim_{n \to \infty}\frac{(n!)^2 4^n}{(2n)! \sqrt{n}} = \sqrt{\pi}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Convergeren

Je moet je gevoel even aanpassen. Als je een positief getal vermenigvuldigt met een getal kleiner dan 1 (en groter dan nul) dan zal dat getal kleiner worden. Je 'begint' met
\(\frac{1}{2}\)
. Dat is al kleiner dan 1. Je kan dus nooit op 1 uitkomen.


De teller gaat naar :) de noemer ook. :) gedeelt door :) daar moet ge mee oppassen. Trouwens zegt je gevoel dat de limiet 0 is? Trouwens ik heb het uit een boek, waarin men zonder bewijs beweert dat de limiet 1 is. Hoe men daar aankomt is voor mij een raadsel, maar naar mijn gevoel kunnen ze gelijk hebben.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Re: Convergeren

maar naar mijn gevoel kunnen ze gelijk hebben.
Heb je mijn reactie niet gelezen dan. Ik heb nog wel 2 bewijzen gegeven. :)

Berichten: 7.068

Re: Convergeren

De teller gaat naar :) de noemer ook.
Leuk, maar niet relevant. Elke iteratie van het product wordt weer kleiner. Je begint op een half, dus het is niet mogelijk om bij 1 uit te komen, zelfs niet als je oneindig veel iteraties doet.
Trouwens zegt je gevoel dat de limiet 0 is?
Het zou mij niet verbazen, maar ik zou dat niet meteen aannemen. Daarover ging mijn commentaar dan ook niet. Die ging slechts over de opmerking dat je gevoel een optie aangaf die niet kan op basis van een simpel argument.
Trouwens ik heb het uit een boek, waarin men zonder bewijs beweert dat de limiet 1 is.
Dan heb je of niet goed in het boek gekeken, of het boek bevat een fout.
Hoe men daar aankomt is voor mij een raadsel, maar naar mijn gevoel kunnen ze gelijk hebben.
Er is al op meerdere manieren aangetoond dat dit niet zo is en dat je gevoel het mis heeft.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Convergeren

@Peterpan Neen excuseer. Zal ik even doen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Convergeren

@Evilbro Ik heb nog eens gekeken en het staat er zwart op wit.Het verbaast mij dat zo'n boek zo een fout kan maken. Ik geef toe dat jouw argument logisch is.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Reageer