Springen naar inhoud

Integralen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 maart 2007 - 22:40

Hier zijn nog 3 problemen waar ik niet uit geraak:

1) bij het oplossen van de integraal LaTeX
moet op een bepaald moment
LaTeX als LaTeX
met A de halve positieve cirkelboog van a tot -a, met centrum o
Ik ken het principe van het afschatten, maar geraak er voor 1 of andere reden niet uit...

2)gelijkaardig aan het bovenstaande probleem:
nu moet:
LaTeX als LaTeX
met C een cirkel om o met straal r;

3) en tot slot, nog eentje met hetzelfde probleem;
hier moet
LaTeX als LaTeX
alweer over de halve positieve cirkelboog om o van R tot -R

Kan iemand me op de goeie weg zetten?
---WAF!---

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24107 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 maart 2007 - 23:32

Ik heb nu niet de tijd om er in detail naar te kijken, maar algemeen is de strategie om over te gaan op de parametrisatie van de cirkel, dan af te schatten en/of te vereenvoudigen om vervolgens de limiet aan te tonen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 maart 2007 - 10:36

Integratiepad 1 is [-a,a]
Integratiepad II is de halve cirkel geparametriseerd door LaTeX
De integraal over pad I + pad II is
LaTeX
Nu is LaTeX
Er is precies 1 pool als a>1, namelijk i.
Dan is (residustelling)
LaTeX
Nu a naar oneindig.
De integraal langs de halve cirkel is klein te kletsen, zodat
LaTeX

Veranderd door PeterPan, 14 maart 2007 - 10:38


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24107 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 maart 2007 - 13:03

De integraal langs de halve cirkel is klein te kletsen

Ik geloof dat dit kleinpraten van dit stuk net gevraagd wordt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 maart 2007 - 17:45

Dat is vrijwel triviaal, daar de integrand voor a naar oneindig uniform naar 0 convergeert.

#6

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 maart 2007 - 17:48

Het 'kleinpraten' van de integraal over de halve cirkelboog is inderdaad net mijn probleem. Dat dit triviaal is zie ik niet echt in. Misschien kan je me hiermee wat helpen?
Als ik het op TD's wijze probeer (parametreren & afschatten) dan loop ik vast. hier is wat ik heb:

omdat:
LaTeX
en omdat
LaTeX
en omdat
LaTeX

is

LaTeX

Hierin kan ik LaTeX buiten de integraal plaatsen en a LaTeX laten gaan;
Maar binnen de integraal staat nog steeds een a in een exponent, en aangezien ik niet zomaar limiet en integraal van plaats mag verwisselen, geraak ik hier niet uit...

PS Enige tips voor problemen 2 & 3 in mijn erste post?
---WAF!---

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24107 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 maart 2007 - 18:00

Als die exponent met a erin positief was, had je een probleem. Maar nu heb je zowel a/(a˛+1) dat naar 0 gaat, als exp(-ax), deze gaat voor a naar oneindig natuurlijk ook naar 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 maart 2007 - 20:33

OK , dat is duidelijk. Ik dacht dat je niet zomaar limiet en integraal kon switchen.
Meer algemeen : wanneer mag je wel zeggen:
LaTeX
en wanneer niet?
---WAF!---

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 18 maart 2007 - 13:14

OK , dat is duidelijk. Ik dacht dat je niet zomaar limiet en integraal kon switchen.
Meer algemeen : wanneer mag je wel zeggen:
LaTeX


en wanneer niet?

Hier zijn veel antwoorden op mogelijk.
Geef een concreet voorbeeld.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24107 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 maart 2007 - 13:24

Het is in elk geval zo dat dit in het algemeen niet mag.
De integraal is immers ook een limiet en limieten mag je niet zomaar van volgorde verwisselen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 maart 2007 - 21:27

LaTeX
De limiet van bovenstaande integraal is dus blijkbaar wel = de integraal van de limiet.
Kan je me evt eens een voorbeeld geven waar dit niet zo is?

Dan nog even dat 2de probleem:
LaTeX
met C een cirkel om o met straal r.
Klopt volgende redenering?
Aangezien de nulpunten van de noemer z=-2 en z=-4 zijn, vallen die buiten de cirkel als de straal hiervan naar 0 gaat. Dus is
LaTeX = 0
Of moet het op een andere wijze?
---WAF!---

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24107 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 maart 2007 - 21:33

Dan nog even dat 2de probleem:
LaTeX


met C een cirkel om o met straal r.
Klopt volgende redenering?
Aangezien de nulpunten van de noemer z=-2 en z=-4 zijn, vallen die buiten de cirkel als de straal hiervan naar 0 gaat. Dus is
LaTeX = 0

Dat lijkt me oké. De functie is analytisch over de cirkel als deze voldoende klein genomen wordt, contourintegraal (over enkelvoudige kromme die zichzelf niet snijdt) van een analytische functie is 0.

Van die limiet en integraal kan ik je niet direct een tegenvoorbeeld geven.
Er zijn daar wel krachtige stellingen over mbv Lebesque-integratie (link).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 20 maart 2007 - 22:02

LaTeX


De limiet van bovenstaande integraal is dus blijkbaar wel = de integraal van de limiet.
Kan je me evt eens een voorbeeld geven waar dit niet zo is?


Voor de integrand geldt voor elke LaTeX tussen 0 en LaTeX
LaTeX
De laatste uitdrukking is onafhankelijk van LaTeX en gaat dus uniform naar 0 voor a naar LaTeX .
Nu geldt in het algemeen LaTeX
In andere woorden: Als f(x,y) uniform naar 0 gaat als y naar LaTeX gaat, dan gaat LaTeX naar 0 voor y naar LaTeX

Veranderd door PeterPan, 20 maart 2007 - 22:08


#14

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2007 - 08:47

Bedankt voor alle info. Voorlopig kan ik hier wel even mee voort.
---WAF!---





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures