1/x+1/y=1/n

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

1/x+1/y=1/n

latex doet het niet blijkbaar (mss doe ik het niet juist)

1/x+1/y=1/n met x,y>0 en natuurlijk

bepaal de maximale waarde van x & y
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: 1/x+1/y=1/n

Wat is
\(n\)
?

En wat bedoel je met maximum
\(x,y\)
?

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: 1/x+1/y=1/n

excuses, n hoort ook tot de natuurlijke getallen met n>0
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: 1/x+1/y=1/n

Ik snap de vraag niet goed... Wat bedoel je met het maximum?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: 1/x+1/y=1/n

ik moet oplossingen zoek voor deze vgl, met n gegeven

1/x+1/y=1/n

x,y>0 en natuurlijk

'k heb echter zelf de oplossing al gevonden
\(y=\frac{nx}{x-n}\)
de limiet x :) :) is n

als x max is, moet y min zijn

y min is n+1, vermits n niet gaat (x is dan ;) )

dus
\(n+1=\frac{nx}{x-n}\)
en opgelost geeft dat dan
\(x_{max}=n^2+n\)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Re: 1/x+1/y=1/n

Geef alle oplossingen in natuurlijke getallen van de vergelijking
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: 1/x+1/y=1/n

\(y=\frac{nx}{x-n}\)
dus: voor welke x (natuurlijk) is y natuurlijk

dan moet

nx deelbaar zijn door x-n

een voorwaarde moet ik nog uitzoeken
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Re: 1/x+1/y=1/n

jhnbk schreef:latex doet het niet blijkbaar (mss doe ik het niet juist)

1/x+1/y=1/n met x,y>0 en natuurlijk

bepaal de maximale waarde van x & y
Hoewel ik je oplossing waardeer, wil ik het volgende toch even kwijt:

In de eerste plaats kan opgemerkt worden dat x en y symmetrisch zijn in de formule (ze zijn verwisselbaar!).

Dit betekent dat alles wat voor x geldt dus ook voor y geldt.

Ga (bv) uit van x.

Onmiddellijk volgt: x>n.

Kies kleinste waarde van x, dus x=n+1, de bijbehorende waarde van y is dan: y=n(n+1). Maar dit is dan tevens de grootste waarde van x.

Verder kunnen we de vraag stellen zijn er nog meer oplossingen bij een gegeven n?

Natuurlijk voldoet altijd x=y=2n.

Voldoet ook: x=n+k? Ja, als k een deler is van n. Bij elke k die voldoet wordt dus het paar x en y gevonden en daarmee alle oplossingen.

Opm: als n priem is, zijn er maar drie oplossingen,

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: 1/x+1/y=1/n

*gast_safe_* schreef:Ga (bv) uit van x.

Onmiddellijk volgt: x>n.

Kies kleinste waarde van x, dus x=n+1, de bijbehorende waarde van y is dan: y=n(n+1). Maar dit is dan tevens de grootste waarde van x.
ook een mooie manier van oplossen

@PeterPan: een algemene voorwaarde kan ik niet opstellen
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Re: 1/x+1/y=1/n

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}\)
Vermenigvuldigen met
\(xyn\)
geeft
\(n(x+y) = xy\)
Als
\(\mbox{ggd}(x,y) = c\)
, dan is
\(x=cu, y=cv,\ \ n(u+v)=cuv\)
voor zekere
\(u,v \in \nn\)
.

Nu is
\(uv\)
een deler van
\(n\)
, want voor elke priemdeler
\(p\)
van
\(uv\)
,

kan
\(p\)
geen deler zijn van
\(u+v\)
, omdat
\(\mbox{ggd}(u,v)=1\)
.

Dus
\(n = duv\)
voor zekere
\(d \in \nn\)
.

Dan is
\(d(u+v)=c\)
Nu is
\(d\)
een deler van
\(c\)
, zeg
\(c=ad\)
.

Dan is
\(u+v=a\)


Kortom:
\(x = cu = adu = (u+v)du\)
\(y = cv = adv = (u+v)dv\)
\(n = duv\)
met
\(\mbox{ggd}(u,v)=1\)


Voorbeelden:
\(d=1, u=1, v=1: \frac12 + \frac12 = \frac11\)
\(d=1, u=1, v=2: \frac13 + \frac16 = \frac12\)
\(d=1, u=2, v=3: \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: 1/x+1/y=1/n

mooi zo, van ggd en zo weet ik toch niet echt veel meer :grin:
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Re: 1/x+1/y=1/n

mooi zo, van ggd en zo weet ik toch niet echt veel meer :grin:
Dat is niet zo moeilijk.

Neem 2 getallen b.v. 120 en 80.

Dan kan ik beide getallen door 2 delen, maar ook door 4 en door 10 en door 40.

Wat is het grootste getal waardoor je beide getallen kunt delen? (=40)

Dat getal noem je de ggd van 120 en 80.

Re: 1/x+1/y=1/n

Probeer die oplossing te begrijpen.

Het schept voldoening als je dit soort probleempjes zelf kunt bewijzen.

Vrijwel al dit soort problemen worden op deze manier opgelost.

Bijvoorbeeld het bepalen van de pythagorasgetallen (oplossingen van
\(x^2+y^2=z^2\)
in natuurlijke getallen) gaat op bijna identieke wijze.

Re: 1/x+1/y=1/n


Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: 1/x+1/y=1/n

begrijpen is niet het probleem, maar zelf vinden :wink:
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Reageer