Moderators: ArcherBarry , Fuzzwood
Berichten: 157
Bereken
\(\frac{\partial^2a}{\partial b \partial c}\)
van
\( a = \frac{b}{b+c}\)
Hoe moet ik dit doen??? Enigste wat in het boek hierover staat is dat
\(z = f(x,y) = 3x^2y^3\)
\(\frac{\partial^2z}{\partial y \partial x} = 18xy^2\)
En dat begrijp ik wel maar hoe moet ik dat op het bovenstaande toepassen???
Bericht
di 20 mar 2007, 15:14 20-03-'07, 15:14
Rov
Berichten: 2.242
Eerst leidt je af naar b met c als constante, en dan naar c met b als constante.
\(\frac{\partial^2a}{\partial b \partial c} = \frac{ \partial}{ \partial b} \left( \frac{ \partial a }{ \partial c} \right) \)
Pluimdrager
Berichten: 6.590
\(a=b.{(b+c)}^{-1}\)
\(\frac{\partial a}{\partial c}=\frac{-b}{(b+c)^2}=-b.(b+c)^{-2}\)
Dit partieel differentieren naar b
\(-1.(b+c)^{-2}+(-b).-2.(b+c)^{-3}.1\)
Berichten: 157
Dat had ik al moeten doen...
\(\frac{\partial a}{\partial b} = \frac{c}{(b+c)^2}\)
\(\frac{\partial a}{\partial c} = \frac{-b}{(b+c)^2}\)
Maar ik zie dan nog niet hoe ik tot dat andere moet komen???
\(\frac{\partial^2 a}{\partial b \partial c} = \frac{c-b}{(b+c)^2}\)
??? denk ik
het goeie antwoord moet zijn
\(\frac{\partial^2 a}{\partial b \partial c} = \frac{b-c}{(b+c)^3}\)
Bericht
di 20 mar 2007, 15:28 20-03-'07, 15:28
Rov
Berichten: 2.242
\(\frac{\partial^2a}{\partial b \partial c} = \frac{ \partial}{ \partial b} \left( \frac{ \partial a }{ \partial c} \right) = \frac{ \partial}{ \partial b} \left( \frac{-b}{ \left( b + c \right)^2 } \right) = \frac{-1 \left( b + c \right)^2 - 2 \left( b + c \right) \left(- b \right)}{ \left( b + c \right)^4} = \frac{b-c}{(b+c)^3}\)
Je moet a afleiden naar c, en die afgeleide van a moet je nog eens afleiden naar b. Dat is niet hetzelfde als a afleiden naar c en a afleiden naar b en daar het product van nemen!
Berichten: 157
Ah zo thanks Rov snap hem nu
Bericht
di 20 mar 2007, 16:43 20-03-'07, 16:43
TD
Berichten: 24.578
Net zoals:
\(\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial x^2 }} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right)\)
geldt voor gemengde afgeleiden:
\(\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial x\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right)\)
De volgorde maakt niet uit als de partiële afgeleiden bestaan en continu zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
