\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( a - \frac {k-1}{n}\right)\left( a - \frac {k} {n} \right)} }\)
Laatste berichten
-
08:29
Programmeren met vectoren 5
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Limiet van een som
Re: Limiet van een som
Schrijf
Volgens de definitie van de Riemann integraal is
We hoeven dus nog slechts aan te tonen dat
\(a_{n,k} = \left( a - \frac {k} {n} \right)^{-\frac12}\)
Ik toon aan dat je limiet (voor a>1 !!!) is \(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} a_{n,k-1}a_{n,k} = \ln(\frac{a}{a-1})\)
Volgens de definitie van de Riemann integraal is
\( \ln(\frac{a}{a-1}) = \int_{0}^{1} \frac{dx}{a-x} = \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{ a - \frac {k} {n}}\)
We hoeven dus nog slechts aan te tonen dat
\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} a_{n,k-1}a_{n,k} - \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{ a - \frac {k} {n}} = 0\)
\(a_{n,k-1}a_{n,k} - \frac{1}{ a - \frac {k} {n}} = a_{n,k}(a_{n,k-1} - a_{n,k}) = \frac{a_{n,k}}{n(a-\frac{k}{n})^2(a-\frac{k-1}{n})(a_{n,k-1}+a_{n.k})}\)
Merk op dat \(a^{-\frac12} \leq a_{n,k} \leq (a-1)^{-\frac12}\)
dan is \( \frac{a^{-\frac12}}{2a^3(a-1)^{\frac12}}\leq \frac{a_{n,k}}{(a-\frac{k}{n})^2(a-\frac{k-1}{n})(a_{n,k-1}+a_{n.k})} \leq \frac{(a-1)^{-\frac12}}{2(a-1)^3a^{\frac12}}\)
dus\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} a_{n,k-1}a_{n,k} - \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{ a - \frac {k} {n}} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}f(k,n) = 0\)
waarbij \(f(k,n)\)
tussen 2 van \(k\)
en \(n\)
onafhankelijke grenzen ligt.-
- Berichten: 74
Re: Limiet van een som
Hallo Peter, bedankt voor je snelle antwoord. Het is wel lastig dat je eerst ongeveer het antwoord moet weten om vervolgens dit te bewijzen. Ik heb ook een variant met behulp van insluiten.
\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{\left( a - \frac {k-1}{n}\right)}\leq \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( a - \frac {k-1}{n}\right)\left( a - \frac {k} {n} \right)} }\leq \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{\left( a - \frac {k}{n}\right)}\)
\(\Longrightarrow\)
\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\left(\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{\left( a - \frac {k}{n}\right)}+ \frac{1}{a}-\frac{1}{a-1}\right)\leq \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( a - \frac {k-1}{n}\right)\left( a - \frac {k} {n} \right)} }\leq \ln\left(\frac{a}{a-1}\right) \)
\(\Longrightarrow\)
\(\ln\left(\frac{a}{a-1}\right) \leq \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( a - \frac {k-1}{n}\right)\left( a - \frac {k} {n} \right)} }\leq \ln\left(\frac{a}{a-1}\right) \)
Re: Limiet van een som
Zo kan het inderdaad ook.
Merk op dat het bewezen is voor
Met een handigheidje is hieruit ook de oplossing te geven voor
Wat is de uitkomst voor
Merk op dat het bewezen is voor
\(a>1\)
.Met een handigheidje is hieruit ook de oplossing te geven voor
\(a<1\)
.Wat is de uitkomst voor
\(a<1\)
?Re: Limiet van een som
Als
1.) als
Dan is de rij voor oneindig veel termen niet gedefinieerd, dus bestaat de limiet niet.
2.) als
Maar dat is geen enkel term van de rij gedefinieerd, omdat elke term de wortel uit een negatief getal getrokken moet worden; en zoals bekend is dat niet gedefinieerd.
Als
\(0 \leq a \leq 1\)
, dan1.) als
\(a\)
rationaal is, dan is \(a = \frac{k}{n} = \frac{pk}{pn}\)
voor zekere \(k,n \in \nn\)
en voor alle \(p \in \nn\)
.Dan is de rij voor oneindig veel termen niet gedefinieerd, dus bestaat de limiet niet.
2.) als
\(a\)
irrationaal is, dan is er voor elke \(n \in \nn\)
een \(k \in \nn\)
zo dat \(\frac{k-1}{n} < a < \frac{k}{n}\)
.Maar dat is geen enkel term van de rij gedefinieerd, omdat elke term de wortel uit een negatief getal getrokken moet worden; en zoals bekend is dat niet gedefinieerd.
Als
\(a < 0\)
, schrijf dan \(b=-a\)
Dan is \(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( a - \frac {k-1}{n}\right)\left( a - \frac {k} {n} \right)} } = \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( b + \frac {k-1}{n}\right)\left( b + \frac {k} {n} \right)} } =\)
\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( b+1 - \frac {n-k+1}{n}\right)\left( b+1 - \frac {n-k} {n} \right)} } =\)
(substitueer \(r = n-k+1\)
)\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {r=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( b+1 - \frac {r}{n}\right)\left( b+1 - \frac {r-1} {n} \right)} } = \ln(\frac{a-1}{a})\)
