X^n+...

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Gebruikersavatar
Berichten: 436

X^n+...

Stel
\(x^n+x^{n+1}=1\)
met
\(x\)
een positief getal en
\(n\)
een natuurlijk getal.

Bewijs dat er voor elke
\(n\)
exact één
\(x\)
is die aan de vergelijking voldoet, we noemen het dan
\(x_n\)
. Bepaal
\( Lim_{n-->+oneindig}x_n\)

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: X^n+...

mo² schreef:Stel
\(x^n+x^{n+1}=1\)
met
\(x\)
een positief getal en
\(n\)
een natuurlijk getal.

Bewijs dat er voor elke
\(n\)
exact één
\(x\)
is die aan de vergelijking voldoet, we noemen het dan
\(x_n\)
.
Dat klopt niet, voor oneven n zijn er twee oplossingen. Een positieve x die naar 1 stijgt naarmate n groter wordt, en een negatieve die naar -1 stijgt naarmate n groter wordt.

Is ook logisch als je nadenkt hoe die oplossing ongeveer moet zijn (als n even is, is bij negatieve x
\(x^{n+1}\)
net iets meer negatief dan
\(x^n\)
positief).
Bepaal
\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n\)
Er vanuit gaande dat je met
\(x_n\)
altijd de positieve oplossing bedoelt, is de limiet 1.

Geen bewijs, maar een intuïtieve onderbouwing: Het is duidelijk dat
\(x_n\)
tussen 1/2 en 1 ligt, en dat
\((x_n)^n\approx (x_n)^{n+1}\)
als n groot wordt, dus
\((x_n)^n\approx \frac12\)
, dus
\(x_n\approx\sqrt[n]{\frac12}\)
en die stijgt naar 1.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: X^n+...

mo² schreef:Stel
\(x^n+x^{n+1}=1\)
met
\(x\)
een positief getal en
\(n\)
een natuurlijk getal.

Bewijs dat er voor elke
\(n\)
exact één
\(x\)
is die aan de vergelijking voldoet, we noemen het dan
\(x_n\)
. Bepaal
\( Lim_{n-->+oneindig}x_n\)
In ieder geval voor n=1 krijgen we 1 positieve oplossing (vierkantsvgl).

Voor n>1 is x=1 geen oplossing en ook x>1 geen oplossing dus moet 0<x<1 zijn. Daar de afgeleide
\(y=x^{n+1}+x^{n}-1\)
positief is stijgt de functie.Ze begint bij -1 voor x=0 en eindigt bij 1 voor x=1 dus ergens daartussen wordt ze 0(continu), voor een positieve x tussen 0 en 1.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Re: X^n+...

Er is altijd precies 1 positief nulpunt.

Je kunt de vergelijking zó schrijven
\(x^n = \frac{1}{1+x}\)
.

De functie
\(f_n: x \mapsto x^n\)
is stijgend op
\([0,\infty)\)
en de functie
\(g: x \mapsto \frac{1}{1+x}\)
strikt dalend op dat domein.

Aangezien bovendien
\(f_n(0)=0<1=g(0)\)
en
\(f_n(1)=1>\frac{1}{2} = g(1)\)
hebben de functies
\(f_n\)
en
\(g\)
precies 1 positief snijpunt
\((x_n)\)
.
\(\lim_{n \to \infty} x_n = 1\)
, want

Zij
\(\epsilon > 0\)
. (We mogen wel aannemen dat
\(\epsilon<1\)
).

Uit de voornoemde randvoorwaarden volgt, dat
\(0<x_n<1\)
voor elke
\(n\)
.

Het is voldoende aan te tonen dat er een
\(N \in \nn\)
bestaat, zo dat voor elke
\(n > N\)
geldt
\(x_n>1-\epsilon\)
,

en daarvoor is het voldoende aan te tonen als voor die
\(n > N\)
geldt
\(f_n(1-\epsilon)<g(1-\epsilon)\)
Nu is
\(\lim_{n \to \infty} (1-\epsilon)^n = 0\)
, dus is er een
\(n \in \nn\)
, zo dat voor
\(n>N\)
geldt dat
\(f_n(1-\epsilon)<g(1-\epsilon)\)
En daarmee is het bewijs rond.

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: X^n+...

Rogier, ik heb toch duidelijk vermeld dat x een positief getal is ...

Voor de limiet:
\(x^n(1+x)=1=x(1+x)^{1/n}\)
Je kan makkelijk zien dat
\(x_n=1\)
voor
\(n\)
gaande naar + oneindig. Wel raar eigenlijk want dan
\(1^{+on}+1^{+on}=1\)
Peterpan, ik snap niks van jouw epsilon uitleg.

Voor deel 1 van de vraag kan je ook zo redeneren:

Stel er is nog een positief getal
\(a\not=x\)
die eraan voldoet, dan volgt onmiddelijk dat
\(x^n-a^n+x^{n+1}-a^{n+1}=0\)
\((x-a)(x^{n-1}+...+a^{n-1}+x^n+...+a^n)=0\)


De 2de factor is duidelijk
\(>0\)
waardoor
\(x-a=0\)
wat ons beginvoorwaarde tegenspreekt.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: X^n+...

Rogier, ik heb toch duidelijk vermeld dat x een positief getal is ...
Klopt... Sorry, foutje.
Wel raar eigenlijk want dan
\(1^{+\infty}+1^{+\infty}=1\)
Pas op, da's een foute gedachte. Een limiet is iets anders dan wanneer je het limietgeval ook daadwerkelijk invult (wat meestal niet kan, maar zelfs al kan het wel).

Voorbeeld:
\(f(x) = \left\{ \startmatrix 37 & (x=4) \\ 0 & (x\neq4) \endmatrix \right. \)
Hier is
\(\lim_{x\rightarrow 4}=0\)
en niet 37.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: X^n+...

Ik wil er de nadruk op leggen dat in
\(x(1+x)^\frac{1}{n}=1\)
x naar 1 gaat voor n gaande naar oneindig en dat klopt. Dit wil echter niet zeggen dat
\(1^{+\infty}+1^{+\infty}=1\)
wat zeker niet klopt.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: X^n+...

Trouwens een oneindige machtsverheffing of oneindige worteltrekking, die men hier toepast. Kan dit?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: X^n+...

Trouwens een oneindige machtsverheffing of oneindige worteltrekking, die men hier toepast. Kan dit?
Nee, [rr] is geen getal dus daar mag je niet mee optellen, aftrekken, delen, vermenigvuldigen, machtsverheffen of worteltrekken.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Re: X^n+...

mo² schreef:Voor de limiet:
\(1=x(1+x)^{1/n}\)
Je kan makkelijk zien dat
\(x_n=1\)
voor
\(n\)
gaande naar + oneindig.
Ik zie dat niet.

In de eerste plaats is er misschien helemaal geen positief nulpunt.

En verder zie ik liever een bewijs dan een "je voelt wel aan" redenering.

Geef even een echt bewijs hiervan.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: X^n+...

Nog geen bewijs, maar grafische noot:

[graph=0,1,-2,2] 'pow(x,1001)+pow(x,1000)-1' [/graph]
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Re: X^n+...

Wel raar eigenlijk want dan
\(1^{\mbox{iets}}+1^{\mbox{iets}}=1\)
Dat bracht mij ook even in verwarring. Als je mijn functies
\(f_n\)
en
\(g\)
plot (voor grote n), dan zie je wat er precies aan de hand is in dit geval.

[graph=-1,2,-2,3] '1/(1+x)', 'pow(x,20)'[/graph]

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: X^n+...

Hier de andere functie:

[graph=0,1,-2,2] 'x*pow((1+x),0.001)-1' [/graph]
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: X^n+...

PeterPan schreef:Ik zie dat niet.

In de eerste plaats is er misschien helemaal geen positief nulpunt.

En verder zie ik liever een bewijs dan een "je voelt wel aan" redenering.

Geef even een echt bewijs hiervan.
\(x(1+x)^{1/n}=1\)
,
\(\frac{1}{n}=0\)
voor
\(n\)
gaande naar + oneindig,

dus dan staat er
\(x(1+x)^0=1\)
, m.a.w.
\(x=1\)
, dit is toch een bewijs ?

Kotje zei: Trouwens een oneindige machtsverheffing of oneindige worteltrekking, die men hier toepast. Kan dit?

Maar dat doe ik niet, ik herschrijf het eerst naar die vorm, pas dan neem ik de limiet.

Re: X^n+...

mo² schreef:
\(x(1+x)^{1/n}=1\)
,
\(\frac{1}{n}=0\)
voor
\(n\)
gaande naar + oneindig,

dus dan staat er
\(x(1+x)^0=1\)
, m.a.w.
\(x=1\)
, dit is toch een bewijs ?
Je wilt toch bewijzen dat
\(\lim_{n \to \infty} x_n = 1\)
?

Ik zie bij jou nergens
\(x_n\)
staan, alleen
\(x\)
. Wat stelt die
\(x\)
dan voor?

Je suggereert dat
\((1+x)^{\frac{1}{n}}\)
naar 1 gaat als n naar oneindig gaat, maar ik kan je een simpel voorbeeld geven waaruit blijkt dat dit niet zonder meer klopt.

Neem bijvoorbeeld
\((1+x_n)^{\frac{1}{n}}\)
met
\(x_n=2^n-1\)
.

Dan is de limiet niet 1 maar 2.

Reageer