Bewijs dat er voor elke
X^n+...
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
- Berichten: 5.679
Re: X^n+...
Dat klopt niet, voor oneven n zijn er twee oplossingen. Een positieve x die naar 1 stijgt naarmate n groter wordt, en een negatieve die naar -1 stijgt naarmate n groter wordt.mo² schreef:Stel\(x^n+x^{n+1}=1\)met\(x\)een positief getal en\(n\)een natuurlijk getal.
Bewijs dat er voor elke\(n\)exact één\(x\)is die aan de vergelijking voldoet, we noemen het dan\(x_n\).
Is ook logisch als je nadenkt hoe die oplossing ongeveer moet zijn (als n even is, is bij negatieve x
\(x^{n+1}\)
net iets meer negatief dan \(x^n\)
positief).Er vanuit gaande dat je metBepaal\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n\)
\(x_n\)
altijd de positieve oplossing bedoelt, is de limiet 1.Geen bewijs, maar een intuïtieve onderbouwing: Het is duidelijk dat
\(x_n\)
tussen 1/2 en 1 ligt, en dat \((x_n)^n\approx (x_n)^{n+1}\)
als n groot wordt, dus \((x_n)^n\approx \frac12\)
, dus \(x_n\approx\sqrt[n]{\frac12}\)
en die stijgt naar 1.In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
- Berichten: 3.330
Re: X^n+...
In ieder geval voor n=1 krijgen we 1 positieve oplossing (vierkantsvgl).mo² schreef:Stel\(x^n+x^{n+1}=1\)met\(x\)een positief getal en\(n\)een natuurlijk getal.
Bewijs dat er voor elke\(n\)exact één\(x\)is die aan de vergelijking voldoet, we noemen het dan\(x_n\). Bepaal\( Lim_{n-->+oneindig}x_n\)
Voor n>1 is x=1 geen oplossing en ook x>1 geen oplossing dus moet 0<x<1 zijn. Daar de afgeleide
\(y=x^{n+1}+x^{n}-1\)
positief is stijgt de functie.Ze begint bij -1 voor x=0 en eindigt bij 1 voor x=1 dus ergens daartussen wordt ze 0(continu), voor een positieve x tussen 0 en 1.Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: X^n+...
Er is altijd precies 1 positief nulpunt.
Je kunt de vergelijking zó schrijven
De functie
Aangezien bovendien
Zij
Uit de voornoemde randvoorwaarden volgt, dat
Het is voldoende aan te tonen dat er een
en daarvoor is het voldoende aan te tonen als voor die
Je kunt de vergelijking zó schrijven
\(x^n = \frac{1}{1+x}\)
.De functie
\(f_n: x \mapsto x^n\)
is stijgend op \([0,\infty)\)
en de functie \(g: x \mapsto \frac{1}{1+x}\)
strikt dalend op dat domein.Aangezien bovendien
\(f_n(0)=0<1=g(0)\)
en \(f_n(1)=1>\frac{1}{2} = g(1)\)
hebben de functies \(f_n\)
en \(g\)
precies 1 positief snijpunt \((x_n)\)
.\(\lim_{n \to \infty} x_n = 1\)
, wantZij
\(\epsilon > 0\)
. (We mogen wel aannemen dat \(\epsilon<1\)
).Uit de voornoemde randvoorwaarden volgt, dat
\(0<x_n<1\)
voor elke \(n\)
.Het is voldoende aan te tonen dat er een
\(N \in \nn\)
bestaat, zo dat voor elke \(n > N\)
geldt \(x_n>1-\epsilon\)
,en daarvoor is het voldoende aan te tonen als voor die
\(n > N\)
geldt \(f_n(1-\epsilon)<g(1-\epsilon)\)
Nu is \(\lim_{n \to \infty} (1-\epsilon)^n = 0\)
, dus is er een \(n \in \nn\)
, zo dat voor \(n>N\)
geldt dat \(f_n(1-\epsilon)<g(1-\epsilon)\)
En daarmee is het bewijs rond.- Berichten: 436
Re: X^n+...
Rogier, ik heb toch duidelijk vermeld dat x een positief getal is ...
Voor de limiet:
Voor deel 1 van de vraag kan je ook zo redeneren:
Stel er is nog een positief getal
De 2de factor is duidelijk
Voor de limiet:
\(x^n(1+x)=1=x(1+x)^{1/n}\)
Je kan makkelijk zien dat \(x_n=1\)
voor \(n\)
gaande naar + oneindig. Wel raar eigenlijk want dan \(1^{+on}+1^{+on}=1\)
Peterpan, ik snap niks van jouw epsilon uitleg.Voor deel 1 van de vraag kan je ook zo redeneren:
Stel er is nog een positief getal
\(a\not=x\)
die eraan voldoet, dan volgt onmiddelijk dat\(x^n-a^n+x^{n+1}-a^{n+1}=0\)
\((x-a)(x^{n-1}+...+a^{n-1}+x^n+...+a^n)=0\)
De 2de factor is duidelijk
\(>0\)
waardoor \(x-a=0\)
wat ons beginvoorwaarde tegenspreekt.- Berichten: 5.679
Re: X^n+...
Klopt... Sorry, foutje.Rogier, ik heb toch duidelijk vermeld dat x een positief getal is ...
Pas op, da's een foute gedachte. Een limiet is iets anders dan wanneer je het limietgeval ook daadwerkelijk invult (wat meestal niet kan, maar zelfs al kan het wel).Wel raar eigenlijk want dan\(1^{+\infty}+1^{+\infty}=1\)
Voorbeeld:
\(f(x) = \left\{ \startmatrix 37 & (x=4) \\ 0 & (x\neq4) \endmatrix \right. \)
Hier is \(\lim_{x\rightarrow 4}=0\)
en niet 37.In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
- Berichten: 3.330
Re: X^n+...
Ik wil er de nadruk op leggen dat in
\(x(1+x)^\frac{1}{n}=1\)
x naar 1 gaat voor n gaande naar oneindig en dat klopt. Dit wil echter niet zeggen dat \(1^{+\infty}+1^{+\infty}=1\)
wat zeker niet klopt.Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 3.330
Re: X^n+...
Trouwens een oneindige machtsverheffing of oneindige worteltrekking, die men hier toepast. Kan dit?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 5.679
Re: X^n+...
Nee, [rr] is geen getal dus daar mag je niet mee optellen, aftrekken, delen, vermenigvuldigen, machtsverheffen of worteltrekken.Trouwens een oneindige machtsverheffing of oneindige worteltrekking, die men hier toepast. Kan dit?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: X^n+...
Ik zie dat niet.mo² schreef:Voor de limiet:\(1=x(1+x)^{1/n}\)Je kan makkelijk zien dat\(x_n=1\)voor\(n\)gaande naar + oneindig.
In de eerste plaats is er misschien helemaal geen positief nulpunt.
En verder zie ik liever een bewijs dan een "je voelt wel aan" redenering.
Geef even een echt bewijs hiervan.
- Berichten: 3.330
Re: X^n+...
Nog geen bewijs, maar grafische noot:
[graph=0,1,-2,2] 'pow(x,1001)+pow(x,1000)-1' [/graph]
[graph=0,1,-2,2] 'pow(x,1001)+pow(x,1000)-1' [/graph]
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: X^n+...
Dat bracht mij ook even in verwarring. Als je mijn functiesWel raar eigenlijk want dan\(1^{\mbox{iets}}+1^{\mbox{iets}}=1\)
\(f_n\)
en \(g\)
plot (voor grote n), dan zie je wat er precies aan de hand is in dit geval.[graph=-1,2,-2,3] '1/(1+x)', 'pow(x,20)'[/graph]
- Berichten: 3.330
Re: X^n+...
Hier de andere functie:
[graph=0,1,-2,2] 'x*pow((1+x),0.001)-1' [/graph]
[graph=0,1,-2,2] 'x*pow((1+x),0.001)-1' [/graph]
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 436
Re: X^n+...
PeterPan schreef:Ik zie dat niet.
In de eerste plaats is er misschien helemaal geen positief nulpunt.
En verder zie ik liever een bewijs dan een "je voelt wel aan" redenering.
Geef even een echt bewijs hiervan.
\(x(1+x)^{1/n}=1\)
, \(\frac{1}{n}=0\)
voor \(n\)
gaande naar + oneindig,dus dan staat er
\(x(1+x)^0=1\)
, m.a.w. \(x=1\)
, dit is toch een bewijs ?Kotje zei: Trouwens een oneindige machtsverheffing of oneindige worteltrekking, die men hier toepast. Kan dit?
Maar dat doe ik niet, ik herschrijf het eerst naar die vorm, pas dan neem ik de limiet.
Re: X^n+...
Je wilt toch bewijzen datmo² schreef:\(x(1+x)^{1/n}=1\),\(\frac{1}{n}=0\)voor\(n\)gaande naar + oneindig,
dus dan staat er\(x(1+x)^0=1\), m.a.w.\(x=1\), dit is toch een bewijs ?
\(\lim_{n \to \infty} x_n = 1\)
?Ik zie bij jou nergens
\(x_n\)
staan, alleen \(x\)
. Wat stelt die \(x\)
dan voor?Je suggereert dat
\((1+x)^{\frac{1}{n}}\)
naar 1 gaat als n naar oneindig gaat, maar ik kan je een simpel voorbeeld geven waaruit blijkt dat dit niet zonder meer klopt.Neem bijvoorbeeld
\((1+x_n)^{\frac{1}{n}}\)
met \(x_n=2^n-1\)
.Dan is de limiet niet 1 maar 2.