Valbeweging met wrijving

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 2.902

Valbeweging met wrijving

Hallo, ik heb een vraaje over de volgende oef.

Een voorwerp met massa m valt naar en is naast de zwaartekracht onderhevig aan een wrijvingskracht waarvan de grootte evenredig is met de grootte van de snelheid (evenredigheidsfactor k). Bepaal de bewegingsvergelijking y(t) als het voorwerp valt vanuit rust en als y(0)=0.

Ik denk dat ik deze oefening het best kan oplossen met diffrentiaalvergelijkingen (waarschijnlijk 2e orde door die versnelling).

Het volgende heb ik reeds gevonden:

Een voorwerp met een massa m dat onderhevig is aan de zwaartekracht
\( m.\frac{d²y}{dt} \)


Wrijvingskracht die afhankelijk is van de snelheid
\( k.\frac{dy}{dt} \)
Ik hoop dat dit al correct is !! :)

Mijn volgende stap was:
\( m.\frac{d²y}{dt}-k.\frac{dy}{dt}=0\)
Hier maak ik een fout denk ik, kan iemand mij helpen ??

Alvast bedankt !!

Berichten: 1.007

Re: Valbeweging met wrijving

Nee dit klopt niet zo. Je zit verkeerd met dat minnetje en je vergeet de zwaartekracht. Ik neem aan dat de massa valt in positieve y-richting? Dan zeg je:

F=m*a met a de versnelling van de massa en F de som van alle krachten op de massa.
\( zwaartekracht=mg \)
en
\(wrijvingskracht=-k\frac{dy}{dt}\)
en
\( a=\frac{d^2y}{dt^2} \)
dus
\( mg-k\frac{dy}{dt} = m\frac{d^2y}{dt^2} \)
Alvast een beginnetje: Neem nu
\( \frac{dx}{dt}=v \)
waardoor de vergelijking overgaat in:
\( \frac{dv}{dt} = g-\frac{k}{m}v \)
Nu eerst separeren van variabelen. Laat even weten of het lukt.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.902

Re: Valbeweging met wrijving

Ik wil je alvast bedanken voor de hulp, ik heb nog een vraagje over het oplossen van de diffrentiaal.

Normaal gebruik ik voor het oplossen van zo'n diffrentiaalvergelijking een oplossingsmethode voor een DV van de 2e orde, maar als ik het goed zie heb je die in je laatste stap naar een DV van de eerste orde gebracht.

Kan ik deze dan oplossen met de methode voor DV's van de eerste orde??

En moet er dan op het einde nog geintegreerd worden??

Berichten: 1.007

Re: Valbeweging met wrijving

ja, je kan dit oplossen met de methodes voor 1e orde differentiaalvergelijkingen. Dat komt omdat hier y(t) in de differentiaalvergelijking niet voorkomt. Nadat je v(t) hebt gevonden, moet er inderdaad nog geïntegreerd worden om x(t) te vinden. Ik hoor het wel.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.902

Re: Valbeweging met wrijving

ik krijg door de DV op te lossen met de methode van de eerste orde:
\( \frac{dv}{dt} = g-\frac{k}{m}v \)
\( \frac{dv}{v} = g-\frac{k}{m}.dt \)
\( \int\frac{dv}{v} =\int g-\frac{k}{m}.dt \)
\( ln \mid v \mid = \frac{g.k.t}{m} + C\)
\( v(t) = e^(\frac{g.k.t}{m}) \)
y(t) te krijgen moet ik dus nog eens integreren ??

is dit al correct ??

Als ik morgen tijd heb ga ik nog eens proberen met de methode voor de 2e orde, als dit niet lukt dan hoor je het wel :)

Berichten: 1.007

Re: Valbeweging met wrijving

Het gaat meteen al mis bij het separeren. Je tweede vergelijking moet worden:
\( \frac{dv}{g-\frac{k}{m}v} = dt \)
Nu is hij gesepareerd en nu kan je dus aan beide kanten primitiveren.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.902

Re: Valbeweging met wrijving

Dom van mij, waarschijnlijk had ik dat niet gezien omdat ik dringend weg moest en toch nog vlug die oefening wilde oplossen.

Bedankt voor me te wijzen op mijn fout!

Reageer