\(e\)
is per definitie het getal waarvoor geldt dat de oppervlakte van de grafiek van \(y=\frac{1}{x}\)
tussen \(x=1\)
en \(x=e\)
precies 1 is.
Toon nu aan dat
\(\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\)
.Laatste berichten
-
21:37
speciale rel. theorie 12
-
21:22
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 11
-
21:13
wig 10
-
20:14
Aardlek-schakelaar 2
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
25 apr
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
25 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
25 apr
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Definitie van e
-
- Berichten: 3.330
Re: Definitie van e
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: Definitie van e
Daarin staat alleen het bewijs dat de limiet bestaat.
Die limiet noemen ze dan e.
Hier heb ik e al gedefinieerd (zie plaatje).
Nu moet je aantonen dat die limiet op datzelfde getal e uitkomt.
Die limiet noemen ze dan e.
Hier heb ik e al gedefinieerd (zie plaatje).
Nu moet je aantonen dat die limiet op datzelfde getal e uitkomt.
-
- Berichten: 24.578
Re: Definitie van e
Deze (en andere) equivalenties tussen definities van e kan je hier vinden - niet voor wie zelf wil zoeken 
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Definitie van e
Dat verhaal deugt niet.Deze (en andere) equivalenties tussen definities van e kan je hier vinden - niet voor wie zelf wil zoeken
Je kunt NIET
\(e^x\)
definiëren door\(e^x := \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n\)
omdat je dan eerst moet aantonen dat de limiet een macht is.Met hetzelfde recht zou ik dan logaritmen kunnen definiëren:
\(\ln(x) := \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n\)
.We weten echter dat die limiet helemaal geen logaritme is.
Bovendien is het een beetje vreemd de functie
\(\ln\)
bekend te veronderstellen, terwijl die logaritme het grondtal \(e\)
impliciet bevat (\(\ln =^{e}\mbox{log}\)
) en dan te zeggen dat je m.b.v. die \(\ln\)
het getal \(e\)
wilt definiëren. Of niet soms?en bovendien het kan veel eenvoudiger.
-
- Berichten: 24.578
Re: Definitie van e
Ze definiëren die limiet toch niet als exp(x)? Ze noemen het eerst y en tonen aan ln(y) = x.
Als je vindt dat er iets fout aan het bewijs is, kan je dat aangeven op de commentaarpagina van de wiki...
Als je vindt dat er iets fout aan het bewijs is, kan je dat aangeven op de commentaarpagina van de wiki...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 24.578
Re: Definitie van e
Ik dacht dat je met het niet-deugend verhaal het aantonen van de equivalentie bedoelde.Zie Characterizations 1.
Die definitie (met de limiet) wordt nochtans veel gebruikt, ook in boeken. Misschien dat de auteurs in kwestie (sommigen toch) op dat moment ook netjes aantonen dat die limiet een macht is. Maar geldt dat ook niet voor de andere definities, dat je à priori niet weet of het wel een macht voorstelt?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Definitie van e
Je mag niet definiëren
want het is helemaal niet duidelijk dat die limiet een macht is.
Je mag wel definiëren
Dat gedoe met de definitie van
\(e^x:=\lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n\)
,want het is helemaal niet duidelijk dat die limiet een macht is.
Je mag wel definiëren
\(exp(x):=\lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n\)
en dan aantonen dat \(exp\)
een macht is.Dat gedoe met de definitie van
\(\ln\)
, inverse nemen enz. is veel te omslachtig.-
- Berichten: 24.578
Re: Definitie van e
Dat is wat in de betere teksten/boeken ook gedaan wordt.
Wat ik bedoelde: dat geldt dan toch ook voor de andere definities?
Wat ik bedoelde: dat geldt dan toch ook voor de andere definities?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Definitie van e
Ik begrijp niet wat je bedoelt. Geef een voorbeeld.
Characterization 3:
"In this case, we define the natural logarithm function ln(x) first, and then define exp(x) as the inverse of the natural logarithm. In other words, for all y > 0, define
want in de "Equivalence of characterizations 1 and 3" schrijft hij:
"We will show that ln(y) = x, which implies (?????) that
Characterization 3:
"In this case, we define the natural logarithm function ln(x) first, and then define exp(x) as the inverse of the natural logarithm. In other words, for all y > 0, define
\(\ln(y) = \int_{0}^{y} \frac{1}{x}\dx\)
Hoe bewijs je dan dat de inverse van deze \(\ln\)
een macht is???want in de "Equivalence of characterizations 1 and 3" schrijft hij:
"We will show that ln(y) = x, which implies (?????) that
\(y = e^x\)
, where \(e^x\)
is in the sense of definition 3 ..."-
- Berichten: 24.578
Re: Definitie van e
Ik begrijp niet wat je bedoelt. Geef een voorbeeld.
\(e^x := \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{x^k }}{{k!}}} \)
Dat je ook bij de definitie zoals hierboven (of andere definities) eerst moet aantonen dat het om een macht gaat.
Of, dat je het definieert als een functie waar je achteraf van aantoont dat het werkelijk om een macht gaat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Definitie van e
Dit is/zijn (een) onzindefinitie(s).TD schreef:\(e^x := \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{x^k }}{{k!}}} \)Dat je ook bij de definitie zoals hierboven (of andere definities) eerst moet aantonen dat het om een macht gaat.
Of, dat je het definieert als een functie waar je achteraf van aantoont dat het werkelijk om een macht gaat.
Je definitieert exp door:
\(exp(x) := \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{x^k }}{{k!}}} \)
Vervolgens ga je bewijzen dat exp(x+y) = exp(x).exp(y). En dan toon je aan dat de enige functies die hieraan voldoen machten zijn.De meneer die dit verhaal heeft opgeschreven heeft de klok en de klepen flink door elkaar geschud.
-
- Berichten: 24.578
Re: Definitie van e
Vandaar dat ik zei/vroeg: wat je aanhaalt voor die limiet van (1+x/n)^n geldt even goed voor de andere gangbare definities van de exponentiële functie, zoals de machtreeks hierboven enz.
Maar geldt dat ook niet voor de andere definities, dat je à priori niet weet of het wel een macht voorstelt?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Definitie van e
Ok. Het is wel duidelijk dat dat hele verhaal gereviseerd behoort te worden.
De equivalentie van 1 en 3 wordt dan een dobber.
De equivalentie van 1 en 3 wordt dan een dobber.
