Kansvariabele en verwachtingswaarde

Arie Bombarie

Goede dag,

De opdracht:

Afbeelding

Ik doe:

f(k_ = -1) = 0,90

f(k_ = 4) = 0,08

f(k_ = 24) = 0,02

(Hierin moet k_ zo'n k met een streepje eronder betekenen)

Hoe ik F(k_ = -1) etc. kan uitrekenen zou ik niet weten...

De verwachtingswaarde wordt berekend met: μ = Σ k * P(k_=k)

De daarbij behorende uitwerking bij deze som is:

(-1 * 0,90) + (4*0,08) + (24*0,02)

Maar waarom? Wat is uberhoupt k_ en k? De P (de kans) is dacht ik in deze opgave 0,90 ; 0,08 ; 0,02, maar waarom vermenigvuldigen ze het met k_. In de formule om de verwachtingswaarde te berekenen staat volgens mij wat anders...?

Alvast bedankt!

physicalattraction

k_ is in jouw geval een kansvariabele, ook wel een stochast genoemd. Dit is een variabele die je kunt zien als eentje die je nog niet weet welk getal het is, maar waarvan je wel weet welke waarden het kan aannemen en hoe waarschijnlijk dat is. De waarden die hij kan aannemen geef je een label mee, deze is k.

f(k_) heb je correct uitgerekend. Wel moet je nog melden dat f(k_) = 0 voor alle andere k_ dan -1, 4 en 24. F(k_) is de kans dat de uitkomst van je kansvariabele ten hoogste de waarde k aanneemt. Bij een discrete kansverdeling is deze hetzelfde als alle voorgaande f(k_) opgeteld, dus F(k_) = 0 voor alle k_ < -1, F(k_) = 0.90 voor alle -1 <= k_ < 4, F(k_) = 0.98 voor alle 4 <= k_ < 24 en F(k_) = 1 voor alle k_ >= 24.

De uitdrukking voor de verwachtingswaarde die je gegeven hebt klopt ook. Bekijk hem als volgt: om te weten hoeveel je gemiddeld wint in een loterij is het belangrijk hoe hoog de prijzen zijn en hoe waarschijnlijk het is dat je die wint. Als de prijzen vrij hoog zijn, maar de waarschijnlijkheid heel erg laag, dan is je verwachte winst kleiner dan wanneer de prijzen iets lager zijn, maar de waarschijnlijkheid dat je die wint wel een stuk hoger. Vandaar dat iedere prijs vermenigvuldigt wordt met de waarschijnlijkheid dat je die wint. Vergelijk het met een gewogen gemiddelde die gebruikt wordt om je rapportcijfer te bepalen uit je proefwerkcijfers.

Arie Bombarie

Bedankt voor je antwoord, de berekening van F(k_) en de verwachtingswaarde snap ik nu.

Maar wat nou precies k en k_ is snap ik nog niet goed.

In dit voorbeeld is volgens mij:

k_ -1, 4, 24 dit zijn de netto opbrengsten die voor kunnen komen wanneer je een lot koopt.

k is hier volgens mij de kans die hoort bij de k_, dus in dit geval 0,90 voor -1, 0,08 voor 4 en 0,02 voor 24.

Klopt dit? En zoja, is de k dan niet gewoon hetzelfde als de kans P?

oscar2

Beste Arie,

Dat van k_ en k is inderdaad verwarrend. Maar het komt doordat je de uitkomsten op 2 manieren gebruikt.

Eerst zeg je F(-1) = P(k_ = -1). Met k_ noteer je dan de stochast. Je schrijft het op dat het de netto opbrengst -1 is en niet b.v. het prijzengeld (dat zou hier namelijk 0 zijn).

Maar bij het uitrekenen van de verwachtingswaarde ga je sommeren over alle verschillende uitkomsten: mu = sigma k*F(k). Dan gebruik je ook weer k maar je bedoeld hier gewoon de getallen -1, 4 en 24.

Je ziet dat mooi als je opschrijft P(k_ = k). Daarmee bedoel je de kans dat de stochast k_ een waarde heeft die gelijk is aan het getal k.

k is dus een mogelijke uitkomst. Het is niet hetzelfde als P. Want dat is de kans op die uitkomst. B.v. voor k = -1 is Pk_ = k) = 0.08.

Nou, ik hoop dat dit een beetje helpt. Want het is, zoals gezegd, wel wat verwarrend, maar je hebt het wel nodig.

Je berekening is overigens volgens mij prima in orde. Je vroeg nog wel hoe de netto opbrengst -1 kan zijn. Wel, dat is niet zo moeilijk. Als je 1 euro betaalt voor het lot, en je wint niets heb je dus een netto oprengst van 0-1=-1 euro.

Arie Bombarie

Bedankt voor je antwoord!

Dus k_ is dus gewoon een soort definitie, die je een waarde mee kan geven met k, en dan is P de kans daarop?

Oftewel:

k_ kan je definiëren als het aantal ogen dat met 2 dobbelstenen wordt gegooid.

Dan kan je f (k_ = 3) berekenen en daaruit volgt P = 2/36

En hierin is k dan 3 toch?

physicalattraction

Nu ik er over nadenk heb ik het zelf ook verkeerd gezegd. Je moet namelijk niet over f(k_) praten, maar over f(k). f is een functie met als variabele k (net zoals een normale functie f(x) van de variabele x afhangt). De waarde van f(k) geeft jou vervolgens de kans dat k_ gelijk is aan k, ofwel P(k_=k).

f(k) = P(k_=k)

Arie Bombarie

Ik snap hem, bedankt

.

Dan heb ik nog een vraagje over de volgende opdracht:

Afbeelding

Bij a. doe ik:

De integraal van (1/9)x^2 om te kijken of het oppervlakte onder de functie inderdaad 1 is (en het zo een kansfunctie is), dit klopt.

Bij b. doe ik:

Verwachtingswaarde = Integraal (x · P(x) dx)

Daaruit volgt Integraal (1/9)x^3dx tussen 3 en 0. Hieruit volgt 2,25.

Bij c. doe ik:

Standaardafwijking = Wortel (Integraal (P(x) · (x-verwachtingswaarde)^2 dx)

Hierin is volgens mij P(x) = (1/9)x^2 maar wat is de x van (x-verwachtingswaarde)^2?

Alvast bedankt!

Safe

Arie Bombarie schreef:Ik snap hem, bedankt .

Dan heb ik nog een vraagje over de volgende opdracht:

Bij a. doe ik:

De integraal van (1/9)x^2 om te kijken of het oppervlakte onder de functie inderdaad 1 is (en het zo een kansfunctie is), dit klopt.

Bij b. doe ik:

Verwachtingswaarde = Integraal (x · P(x) dx)

Daaruit volgt Integraal (1/9)x^3dx tussen 3 en 0. Hieruit volgt 2,25.

Bij c. doe ik:

Standaardafwijking = Wortel (Integraal (P(x) · (x-verwachtingswaarde)^2 dx)

Hierin is volgens mij P(x) = (1/9)x^2 maar wat is de x van (x-verwachtingswaarde)^2?

Alvast bedankt!

Die heb je zelf uitgerekend: dus (x-2.25)²

oscar2

dit is allemaal prima zo. maar misschien heb je nog wat aan deze truuk.

ik bereken namelijk liever niet de verwachtingswaarde van (x-verwachtingswaarde)^2. Dat zie er zo ingewikkelde uit. Meestal bereken ik de verwachtingswaarden van x en x^2:

verwachtingswaarde van x: <x> = integraal (x.f(x)) dx

verwachtingswaarde van x^2: <x^2> = integraal (x^2.f(x)) dx

en dan: standaarddeviatiatie^2 = <(x-<x>)^2> = <x^2> - <2x<x>> + <x>^2 = <x^2>-<x>^2

dit is een wat natuurlijker aanpak. In ieder geval kun je dit (indien gewenst) ook voortzetten met hogere orde.

Misschien heb je er wat aan. Maar als je het verwarrend vindt moet je het gewoon weer vergeten. Groet. Oscar

Arie Bombarie

Bedankt voor de hulp, ik ben er uitgekomen

.

Maar als je het verwarrend vindt moet je het gewoon weer vergeten.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Kansvariabele en verwachtingswaarde

Kansvariabele en verwachtingswaarde

Re: Kansvariabele en verwachtingswaarde

Re: Kansvariabele en verwachtingswaarde

Re: Kansvariabele en verwachtingswaarde

Re: Kansvariabele en verwachtingswaarde

Re: Kansvariabele en verwachtingswaarde

Re: Kansvariabele en verwachtingswaarde

Re: Kansvariabele en verwachtingswaarde

Re: Kansvariabele en verwachtingswaarde

Re: Kansvariabele en verwachtingswaarde