Vooraf: / moet een rechtopstaande streep zijn in de volgende opgave. (Ik ben niet zo goed in Latex)
Gegeven is een niet-lege verzameling V (die een deelverzameling is van de R^p) en een punt a in R^p. Voor x,y in R^p noteren we d(x,y) = //x-y// (de Euclidische metriek op R^p)
(a) Toon aan dat inf {d(a,x) / x in V} bestaat. Dit getal noemen we de afstand van a tot V en noteren we met d(a,V)
(b) Toon aan dat a een limietpunt is van V dan en slechts dan als d(a,V) = 0
Neem nu aan de de verzameling V gesloten is.
© Toon aan dat a een element van V is, dan en slechts dan als d(a,V) = 0
(d) Toon aan dat er een b in V bestaat zo dat d(a,V) = d(a,b). Hint: beschouw de verzameling V doorsnede met de afsluiting van B(a;R) voor een geschikt gekozen R>0.
Dit is de opgave die ik niet begrijp. Ik heb nog een kleine week om dit te begrijpen, aangezien ik dan getoetst wordt. Ik hoop dat jullie deze som willen voormaken, zodat ik de methode leer kennen om tot het oplossen van een dergelijk vraagstuk te komen.
Laatste berichten
-
23:25
2013 – Augustus Vraag 3
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
23:04
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 5
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Verzamelingen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 271
Re: Verzamelingen
OK
a) De verzameling Z={d(a,x) | x in V} is naar beneden begrensd (immers d(a,x)>0). Vanwege de volledigheid van R heeft Z dan een infimum heeft.
b) Het infimum is het hoogste getal dat lager is dan alle getallen uit Z. Dus als d(a,x) = 0 is er voor elke eps > 0 een x in V zdd d(a,x) < eps. Neem nu een rij eps_n die naar nul convergeert. Voor elke eps_n is er een x_n uit V zdd d(a,x) < eps_n. De rij x_n convergeert dus naar a.
Andersom als er een rij x_n uit V is die naar a convergeert is er voor elke eps> 0 een x (uit de rij) zdd d(a,x) < eps. Het enige mogelijke infimum is dan 0.
c) Vanwege b) is a een limietpunt van een rij uit V. Maar omdat V gesloten is is de limiet van elke convergerende rij uit V zelf ook een element van V. Dus a moet een element van V zijn. Andersom. Als a een element van V is het minimum van Z automatisch nul. Immers d(a,a) = 0.
d) Eigenlijk zou ik hier gewoon zeggen: Z is ook gesloten. Het infimimum is dan het minimum. De b uit V waarvoor d(a,b) dit minimum aanneemt is de gevraagde b. Maar misschien is dit iets te kort door de bocht. Natuurlijk kies je R = d(a,V). De genoemde doorsnede bevat dan het punt b. Maar hoe bewijs je dat ...
Het lijkt mij dat deze antwoorden wat teleurstellend zijn. De achterliggende theorie gaat over open- en gesloten verzamelingen en limieten. Het zou een beetje magertjes zijn om dat alleen aan de hand van deze opgave te bespreken.
a) De verzameling Z={d(a,x) | x in V} is naar beneden begrensd (immers d(a,x)>0). Vanwege de volledigheid van R heeft Z dan een infimum heeft.
b) Het infimum is het hoogste getal dat lager is dan alle getallen uit Z. Dus als d(a,x) = 0 is er voor elke eps > 0 een x in V zdd d(a,x) < eps. Neem nu een rij eps_n die naar nul convergeert. Voor elke eps_n is er een x_n uit V zdd d(a,x) < eps_n. De rij x_n convergeert dus naar a.
Andersom als er een rij x_n uit V is die naar a convergeert is er voor elke eps> 0 een x (uit de rij) zdd d(a,x) < eps. Het enige mogelijke infimum is dan 0.
c) Vanwege b) is a een limietpunt van een rij uit V. Maar omdat V gesloten is is de limiet van elke convergerende rij uit V zelf ook een element van V. Dus a moet een element van V zijn. Andersom. Als a een element van V is het minimum van Z automatisch nul. Immers d(a,a) = 0.
d) Eigenlijk zou ik hier gewoon zeggen: Z is ook gesloten. Het infimimum is dan het minimum. De b uit V waarvoor d(a,b) dit minimum aanneemt is de gevraagde b. Maar misschien is dit iets te kort door de bocht. Natuurlijk kies je R = d(a,V). De genoemde doorsnede bevat dan het punt b. Maar hoe bewijs je dat ...
Het lijkt mij dat deze antwoorden wat teleurstellend zijn. De achterliggende theorie gaat over open- en gesloten verzamelingen en limieten. Het zou een beetje magertjes zijn om dat alleen aan de hand van deze opgave te bespreken.
-
- Berichten: 89
Re: Verzamelingen
Bedankt voor je antwoorden tot zover. Ik ben er nog even mee aan de slag gegaan en ik begrijp a,b en c nu goed. Alleen bij d kan ik het nog niet helemaal rond krijgen... Want volgens mij neem je nu heel snel dingen achter elkaar aan, die je juist moet bewijzen en daar heb ik een beetje moeite mee. Begrijp je ongeveer wat ik bedoel? Volgens mij is het bewijs niet compleet.
-
- Berichten: 271
Re: Verzamelingen
Hoi,
Ik had hoop dat iemand anders ook nog zou reageren en dan het antwoord op d) zou geven. Voor mij is het allemaal wel lang geleden. Wel een leuke oefening natuurlijk. Ik zal er dus nog eens over nadenken.
Groet. Oscar
Ik had hoop dat iemand anders ook nog zou reageren en dan het antwoord op d) zou geven. Voor mij is het allemaal wel lang geleden. Wel een leuke oefening natuurlijk. Ik zal er dus nog eens over nadenken.
Groet. Oscar
-
- Berichten: 271
Re: Verzamelingen
Dat is ook wat! Ik kwam er maar niet uit. Ik vond ook niets vergelijkbaars op internet. En wat blijkt: Onderdeel d) is niet waar!
Je maakt als volgt een tegenvoorbeeld:
0) Neem a = 1.1 en V de vereniging van de oneindige rij intervallen [0 , 0.5], [0.9 , 0.95], [0.99 , 0.995], [0.999, 0.9995], etc.
1) Deze verzameling is duidelijk gesloten (immers als x geen element van V is kun eenvoudig een omgeving rond x vinden die ook buiten V ligt).
2) d(a,V) = inf{(a,x) ! x in V} = 0.1
3) Maar er is geen b in V zdd d(a,b) = 0.1. Want dan zou b=1 moeten zijn en die is geen element van V.
Om wel zo'n b te hebben heb je een sterkere eigenschap nodig. Dan moet V compact zijn.
Je maakt als volgt een tegenvoorbeeld:
0) Neem a = 1.1 en V de vereniging van de oneindige rij intervallen [0 , 0.5], [0.9 , 0.95], [0.99 , 0.995], [0.999, 0.9995], etc.
1) Deze verzameling is duidelijk gesloten (immers als x geen element van V is kun eenvoudig een omgeving rond x vinden die ook buiten V ligt).
2) d(a,V) = inf{(a,x) ! x in V} = 0.1
3) Maar er is geen b in V zdd d(a,b) = 0.1. Want dan zou b=1 moeten zijn en die is geen element van V.
Om wel zo'n b te hebben heb je een sterkere eigenschap nodig. Dan moet V compact zijn.
-
- Berichten: 89
Re: Verzamelingen
Dit is echt heel vreemd. Als V compact is, is het dan wel op te lossen? Ik blijf het vreemd vinden. Ik gebruik een dictaat wat al jaren wordt gebruikt en elk jaar worden evt. fouten eruit gehaald.
-
- Berichten: 271
Re: Verzamelingen
Nee inderdaad, ik vergis me.
"1" zit niet in V maar heeft geen omgeving die ook buiten V zit.
Dus V is toch niet gesloten.
Nou, dan ben ik er nog steeds niet uit.
"1" zit niet in V maar heeft geen omgeving die ook buiten V zit.
Dus V is toch niet gesloten.
Nou, dan ben ik er nog steeds niet uit.
-
- Berichten: 89
Re: Verzamelingen
oscar2 schreef:Nee inderdaad, ik vergis me.
"1" zit niet in V maar heeft geen omgeving die ook buiten V zit.
Dus V is toch niet gesloten.
Nou, dan ben ik er nog steeds niet uit.
Jammer dat er nog geen oplossing is, maar gelukkig klopt de opgave wel
-
- Berichten: 271
Re: Verzamelingen
Jammer dat er nog steeds niemand geschreven heeft die hier echt verstand van heeft.
Maar goed, ik denk dat ik weet hoe het moet.
*B(a,R) = {x | d(a,x)<R} is open.
*De afsluiting is Bc(a,R) = {x | d(a,x)<=R} (die is natuurlijk gesloten.)
*Voor R < d(a,V) is de doorsnede met V leeg. Voor R > V is de doorsnee niet leeg.
*Zoals gezegd zul je (neem ik aan) kiezen: R = d(a,V).
*Met het bovenstaande wil je bewijzen dat de doorsnede van V met de Bc(a,R) niet leeg is.
*Want voor alle punten b in die doorsnede geldt d(a,b) = d(a,V) zoals gewenst.
Nu vrees ik dat je daar een of andere zware stelling bij gebruikt. Vandaar dat het antwoord zo moeilijk is te vinden. Volgens mij is die stelling: Neem een (oneindige) rij gesloten verzamelingen Vn waarbij iedere volgende verzameling een deelverzameling is van de vorige. Dan is de doorsnede van die verzamelingen niet leeg. Voor R^d kan ik dat geloof ik bewijzen. Maar pin me er niet op vast. Dan gaat het bewijs als volgt:
*Voor alle R>d(a,V) is de doorsnede van Bc(a,R) en V een gesloten verzameling.
*De doorsnede X van al deze verzamelingen is dus niet leeg.
*De doorsnede van alle Bc(a,R) is Bc(a,d(a,V)) en de doorsnede van Bc(a,d(a,V) met V is X. Q.E.D.
Maar, pin me er niet op vast.
Maar goed, ik denk dat ik weet hoe het moet.
*B(a,R) = {x | d(a,x)<R} is open.
*De afsluiting is Bc(a,R) = {x | d(a,x)<=R} (die is natuurlijk gesloten.)
*Voor R < d(a,V) is de doorsnede met V leeg. Voor R > V is de doorsnee niet leeg.
*Zoals gezegd zul je (neem ik aan) kiezen: R = d(a,V).
*Met het bovenstaande wil je bewijzen dat de doorsnede van V met de Bc(a,R) niet leeg is.
*Want voor alle punten b in die doorsnede geldt d(a,b) = d(a,V) zoals gewenst.
Nu vrees ik dat je daar een of andere zware stelling bij gebruikt. Vandaar dat het antwoord zo moeilijk is te vinden. Volgens mij is die stelling: Neem een (oneindige) rij gesloten verzamelingen Vn waarbij iedere volgende verzameling een deelverzameling is van de vorige. Dan is de doorsnede van die verzamelingen niet leeg. Voor R^d kan ik dat geloof ik bewijzen. Maar pin me er niet op vast. Dan gaat het bewijs als volgt:
*Voor alle R>d(a,V) is de doorsnede van Bc(a,R) en V een gesloten verzameling.
*De doorsnede X van al deze verzamelingen is dus niet leeg.
*De doorsnede van alle Bc(a,R) is Bc(a,d(a,V)) en de doorsnede van Bc(a,d(a,V) met V is X. Q.E.D.
Maar, pin me er niet op vast.
-
- Berichten: 89
Re: Verzamelingen
Experts in de zaal? Ik zou graag een bevestiging willen, want aan een niet-correct antwoord hebben we natuurlijk niets.
Oscar2, in elk geval bedankt voor je hulp!
Ik zou graag een bevestiging willen, want aan een niet-correct antwoord hebben we natuurlijk niets.Oscar2, in elk geval bedankt voor je hulp!
-
- Berichten: 271
Re: Verzamelingen
Eigenlijk had ik verwacht dat je op een zeker moment zelf ook wat zou vertellen over wat er over dit onderwerp allemaal in je dictaat staat. Je moet toch zo langzamerhand wel ieets herkennen?
