[raadsel] een miljard getallen

Nabuko Donosor

Onlangs vond ik deze :

Stelling: Er bestaat een rij van een miljard opeenvolgende getallen die allemaal deelbaar zijn door een n-de macht > 1. Met n constant.

Bewijs ???

Ik vond hem al, nu is het aan jullie.

Elmo

Bedoel je dat er een x bestaat zodanig dat x, x+1, x+2, ..., x+10⁹ allen deelbaar zijn door hetzelfde vaste getal n?

(Dat lijkt me onmogelijk.)

Bart

Stelling: Er bestaat een rij van een miljard opeenvolgende getallen die allemaal deelbaar zijn door een n-de macht > 1. Met n constant.

Stelling is niet goed geformuleerd. Elk getal kan gedeeld worden door een ander getal, behalve nul.

Nabuko Donosor

Elk getal uit die rij kan gedeeld worden door een n-de macht. Met n constant bedoel ik dat je als je bv n= 9 stelt, je elk getal uit die rij kan delen door een negende macht. Of weet je wat, ik formuleer de stelling effe wat gemakkelijker.

Stelling: Er bestaat een rij van een miljard getallen die elk deelbaar zijn door een kwadraat >1.

Elmo

Om hem netjes te formuleren: Je zegt dus dat er een x bestaat zodanig dat elk element uit de verzameling {x, x+1, x+2, ..., x+10⁹-1} deelbaar is door n² (wel elke keer een andere n) en dat het resultaat dan weer een geheel getal is.

Is het zo goed geformuleerd? Anders is het natuurlijk niets bijzonders, tenslotte is 13 ook prima deelbaar door 35...

Math

volgens mij bedoelt hij juist niet elke keer een andere n, maar steeds dezelfde, Dat zegt hij toch met als voorbeeld n=9.

Vortex29

{x, x+1, x+2, ..., x+10⁹}

Die laatste is denk ik x+10⁹-1.

Math

Waarom denk je dat?

Vortex29

Anders heb je 10⁹+1 getallen in de reeks.

Nabuko Donosor

Suyver heeft het bij het rechte eind.

Nabuko Donosor

De aanvulling van Vortex is ook juist.

DVR

je kunt ze natuurlijk allemaal delen door 1^n

Anonymous

Lijkt me interesant als je dit kan bewijzen... volgens mij is de ontkenning van deze stelling heel eenvoudig, of ik moet ergens overheen kijken.

Zij A de verz getallen waar het om gaat {p(in)}n|x<=p<=(x+10^9-1)}

Nu geld voor alle p in A dat p in 1mod2 óf 0mod2 zit.

De enige deler van zowel 1mod2 als 0mod2 is 1. En dat is een tegenspraak met de aanname dat de deler >1 moest zijn.

Nabuko Donosor

Anonymous schreef:Lijkt me interesant als je dit kan bewijzen... volgens mij is de ontkenning van deze stelling heel eenvoudig, of ik moet ergens overheen kijken.

Zij A de verz getallen waar het om gaat {p(in)}n|x<=p<=(x+10^9-1)}

Nu geld voor alle p in A dat p in 1mod2 óf 0mod2 zit.

De enige deler van zowel 1mod2 als 0mod2 is 1. En dat is een tegenspraak met de aanname dat de deler >1 moest zijn.

Ik weet niet of je antwoord goed zit of niet, want de getaltheorie die jij gebruikt (pi(n)) ken ik nog niet.

Ik had volgend bewijs :

Kies een miljard verschillende priemgetallen (p1, p2, ..,p10^9). Beschouw dan volgend stelsel congruentievergelijkingen:

x=-1(modp1²), x=-2(modp2²), ... , x=-10^9(modp10^9²)

Nu zegt de chinese reststelling : Stel dat in x=c1(modm1), x=c2(modm2),..., x=cn(modmn) (1) geldt dat ggd(mi,mj)=1 voor elk tweetal i =/ j. Dan heeft (1) precies één restklasse modulo m1*m2*..*mn als oplossingsverzameling.

Die stelling kunnen we dus toepassen in ons bewijs. Want er geldt zeker dat ggd(pi²,pj²)=1 voor alle i,j. Dus: x+1,x+2, .. ,x+10^9 zijn deelbaar door respectievelijk p1²,p2², ... p10^9². Dat zijn allemaal kwadraten. Daarmee is de stelling bewezen.

PS ik denk dat deze stelling uit te breiden is naar een willekeurige natuurlijke macht.

Anonymous

Kies een miljard verschillende priemgetallen (p1, p2, ..,p10^9).

ja, leuk en aardig, maar dat zijn geen opeenvolgende priemgetallen. Het bewijs klopt verder wel volgens mij. Maar voor opeenvolgende getallen kan het dus niet!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[raadsel] een miljard getallen

[raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen

Re: [raadsel] een miljard getallen