Magnetisch veld bij solenoide

Jeroen

Ik zit met een opdracht waarbij het me niet duidelijk is of ik de wet van Ampere moet gebruiken of Biot-Savart. Ik kom er bovendien bij beide niet uit.

De opdracht is als volgt:

Door een cilindrische spoel met straal R en N windingen per meter loopt een stroom I (zie figuur). Wat is het magnetische veld buiten de spoel uitgedrukt in

\(\theta_1\)

en

\(\theta_2\)

? Wat is het veld op de as van een oneindige spoel.

: solenoide.jpg (30.34 KiB) 351 keer bekeken

Die laatste weet ik wel op te lossen, omdat die beschreven stond in het boek, maar het eerste deel weet ik niet op te lossen. Tips iemand?

oscar2

Beste Jeroen,

Ik vind het een rare vraag. Volgens de wet van ampere is het veld in de spoel: B = mu_0 * n * I. Met n het aantal windingen per meter en I de stroomsterkte (mu_0 = de permettiviteit maar die is constant). Het komt er op neer dat je alleen het aantal windingen per meter nog moet weten. Daar kun je met R, q1 en q2 wel uitkomen maar dat wordt wel een rare berekening.

Die over het veld buiten de spoel vind ik ook raar. Het hangt er toch vanaf waar buiten de spoel?

Misschien zijn dit wat naieve reacties. Maar het kan ook zijn dat je eea moet verhelderen.

Groet. Oscar

Jan van de Velde

Die over het veld buiten de spoel vind ik ook raar. Het hangt er toch vanaf waar buiten de spoel?

Deze is goed op te lossen, want de twee hoeken geven netjes aan wáár buiten die spoel. Ik heb alleen de formules en de wiskunde niet paraat, en helaas geen tijd om die op te zoeken.

Er is ergens in het afgelopen jaar een vergelijkbaar vraagstuk langsgekomen, maar die kan ik zo gauw ook niet vinden.

aadkr

Dat moet volgens mij met Biot Savart.

Ik denk dat er het volgende uitkomt:

\(B=\frac{\mu_{0}.N.I}{2} \left( -\cos\theta_{1} + \cos\theta_{2} \right) \)

De afleiding is lastig, maar als je er niet uitkomt dan kan ik de afleiding wel geven.

Jeroen

Dankje, ik wilde net zeggen dat ik er al uit ben. Wat ik gedaan heb is eerst het veld op dat punt bepaald als gevolg van 1 ring. Toen heb ik die ring geintegreerd over de lengte a tot a+l en vervolgens de oplossing uitgedrukt, met wat gonioregeltjes, in de hoeken theta1 en theta2. Toch altijd weer leuk als je eruit komt

.

@oscar: Het is inderdaad bekend dat het veld binnen de spoel is wat jij zei, maar het moet wel afgeleid worden. Ze willen hier dus ook het veld weten als gevolg van een eindige spoel op het punt wat is gedefinieerd met de twee hoeken. Het leuke is dat het veld voor een oneindige spoel volgt uit de berekening voor de eindige spoel als je voor de hoeken theta1 en theta2, respectievelijk pi en 0 invult. Zo kon ik meteen controleren of mijn antwoord klopte

.

Als er behoefte aan is, wil ik best een uitwerking plaatsen..

oscar2

Beste Jeroen,

Ja ik ben inderdaad benieuwd.

Met Biot-Savart vind ik voor een ring met straal R en stroomsterkte I op de as van de ring en op een afstand z van de ring:

\(B = \frac{\mu_{0}}{2} I \frac{ R^2 }{ \sqrt{R^2+z^2}^3 } \)

Heb jij dat ook? En hoe gaat het dan verder?

Groet. Oscar

Jeroen

Ok voor een ring hebben we dus:

\(B = \frac{\mu_{0}}{2} I \frac{ R^2 }{ (R^2+z^2)^\frac{3}{2}} \)

Nu beschouwen we deze ring als een infinitesimaal dunne ring, om dus het magnetisch veld van de hele spoel te krijgen tellen we de magnetische velden van al die ringen bijelkaar op. We integreren dus van het begin van de spoel (nu de rechter kant) tot het eind. Noem de afstand tussen het punt waar je het veld wilt weten en he begin van de spoel a en de lengte van de spoel L. Je integraal ziet er nu als volgt uit:

\(B = \frac{\mu_{0} N I R^2}{2} \int_a^{a+L} \frac{ 1 }{ (R^2+z^2)^\frac{3}{2}} dz\)

waarbij N = n/L (met n het totaal aantal windingen)

Hier komt uit:

\(B = \frac{\mu_{0} N I R^2}{2} \left[ \frac{ 1 }{ R^2 \sqrt{R^2+z^2} } \right]_a^{a+L}\)

Hierbij geldt:

\( a+L = \frac{R}{\tan(\theta_2)} \)

\( a = \frac{R}{\tan(\theta_1)} \)

als je dit zo invult in de uitkomst van de integraal krijg je:

\(B = \frac{1}{2} \mu_{0} N I \left[ \frac{ R }{ \tan(\theta_2) \sqrt{\frac{R^2}{ \tan(\theta_2) }} + R^2} - \frac{ R }{ \tan(\theta_1) \sqrt{\frac{R^2}{ \tan(\theta_1) }} + R^2}\right]\)

Vervolgens kun je dit vereenvoudigen met de regels:

\(\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1\)

en

\(\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\)

Wat resulteert in:

\(B=\frac{1}{2} \mu_{0} N I \left(\cos\theta_{2} - \cos\theta_{1}\right) \)

oscar2

Maar deze stap snap ik niet:

\( \int \frac{ 1 }{ (R^2+z^2)^\frac{3}{2}} dz = \left[ \frac{ 1 }{ \sqrt{R^2+z^2} } \right]\)

Ik zie nog niet dat de afgeleide van de rechter de linker is. Ik denk dat het hier nog ietsje ingewikkelder wordt.

En ik zit nog een beetje bij de eenheid:

\(\frac{B}{\mu_{0}\)

heeft aan het begin nog eenheid A/m en aan het einde ineens A. Hoe zit dat?

Phys

\(\int \frac{ 1 }{ (R^2+z^2)^\frac{3}{2}} dz = \left[ \frac{ z }{R^2 \sqrt{R^2+z^2} } \right]\)

Jeroen schreef niet

\(\left[ \frac{ 1 }{ \sqrt{R^2+z^2} } \right]\)

maar

\(\left[ \frac{ 1 }{R^2 \sqrt{R^2+z^2} } \right]\)

Hij vergeet dus nog een factor z.

Hoe dat effect heeft op de verdere berekening, weet ik nog niet. Waarschijnlijk klopt zijn berekening wel, aangezien aadkr het ook had

Jeroen

Ben inderdaad die z vergeten, maar dat is alleen een typfout geweest, ik heb m hier wel in mijn berekeningen staan.

Ik weet trouwens niet welk eenheid probleem er is? Je tex code zie ik niet verschijnen. Ik heb net de eenheden gecontroleerd voor de integraal, aan het begin en het uiteindelijke antwoord en de eenheden kloppen wel. Misschien was je een meter^2 kwijt door dat leesfoutje hierboven?

Ik heb die integraal trouwens niet zelf opgelost, uit luiheid maar ingetypt in een programma. Ik kwam er nu achter dat hij toch best lastig is. Ik heb m proberen op te lossen met een tangens substitutie en kwam steeds uit met een 1/(R^3) ipv 1/(R^2). Kan het misschien ook eenvoudiger opgelost worden?

TD

Ik heb m proberen op te lossen met een tangens substitutie en kwam steeds uit met een 1/(R^3) ipv 1/(R^2). Kan het misschien ook eenvoudiger opgelost worden?

Het lijkt me toch dat het met die substitutie behoorlijk moet lukken.

Als je wil kan je tonen waar je vastzit, dan kijk ik er wel naar.

oscar2

Beste Jeroen,

OK, je bedoelt dus:

\(B = \frac{\mu_{0} N I R^2}{2} \left[ \frac{ 1 }{ z \sqrt{R^2+z^2} } \right]_a^{a+L}\)

Dat is geen triviale integraal. Maar dan kan ik je volgen.

Dan nu over de eenheden. Bij magnetisme is dat altijd moeilijk. Dan zal ik me ook maar eens inspannen (uit de wikipedia):

\([B] = T(esla) = \frac{Vs}{m^2}\)

en

\([\mu_0] = H/m = \frac{Vs}{Am}\)

Voor één ring:

\([B] = \left[ \frac{\mu_{0}}{2} I \frac{ R^2 }{ (R^2+z^2)^\frac{3}{2}} \right] = \frac{Vs}{m^2}\)

Dat klopt.

Maar aan het eind:

\([B] = \left[ \frac{\mu_{0}.N.I}{2} \left( -\cos\theta_{1} + \cos\theta_{2} \right) \right] = \frac{Vs}{m}\)

. Is een "m" weggevallen.... Tenzij met N natuurlijk het aantal windingen per meter bedoeld. Dat zal het wel zijn. Als er M windingen zijn in een spoel van lengte L:

\(B = \frac{\mu_{0} I R^2}{2} \sum_{n=1}^{M} \frac{ 1 }{ (R^2+z_n^2)^\frac{3}{2}}\approx \frac{\mu_{0} I R^2}{2} \int_1^{M} \frac{ 1 }{ (R^2+z(n)^2)^\frac{3}{2}} dn= \frac{\mu_{0} I R^2}{2} \int_{z_1}^{z_M} \frac{ 1 }{ (R^2+z^2)^\frac{3}{2}} \frac{M}{L} dz\)

Met N = M/L geeft dat jouw antwoord.

OK. Met de ene correctie klopt het wat mij betreft. Ik denk overigens ook dat je de integraal met substitutie (z = Rtan(q)) het eenvoudigst op kan lossen.

Groet. Oscar

Jeroen

@oscar: Je hebt gelijk ja, die N heeft eenheid 1/m. Dat heb ik in mijn uitwerking wel toegelicht. Ik zei daar: N = n/L (met n het totaal aantal windingen)

En dan mijn integratieprobleempje:

Ik zal stap voor stap laten zien wat ik deed.

\( \int \frac{1}{(R^2 + z^2)^\frac{3}{2}}dz = \int \frac{1}{(R^2)^\frac{3}{2} (1 + \frac{z^2}{R^2})^\frac{3}{2}} \)

nu gebruik ik de substitutie:

\( \frac{z}{R} = \tan(t) \)

\( \frac{1}{R^3} \int \frac{1}{(1 + \tan^2(t))^\frac{3}{2}}d\tan(t) = \frac{1}{R^3} \int \frac{\frac{1}{\cos^2t}}{\left(\frac{1}{\cos^2t}\right)^\frac{3}{2}} dt = \frac{1}{R^3} \int \cos{t} dt \)

Ik laat nu de constante +C even weg, dat doet er even niet toe:

Dan krijgen we dus:

\( \frac{1}{R^3} \sin{t} \)

Omdat geldt:

\( \frac{z}{R} = \tan(t) \)

Krijg ik voor de sinus:

\( \sin{t} = \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} \)

En volgens mijn blijkbaar verkeerde methode komt er dit uiteindelijk uit:

\(\int \frac{1}{(R^2 + z^2)^\frac{3}{2}}dz = \frac{1}{R^3} \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}}\)

En dat klopt dus niet daar moet 1/R^2 uitkomen ipv 1/R^3

Wat doe ik nu fout?

eendavid

\(dz=Rd\tan(t)\)

, jij doet

\(dz=d\tan(t)\)

Jeroen

Damn

, ik wist dat t iets kleins moest zijn, wat stom van me!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Magnetisch veld bij solenoide

Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide

Re: Magnetisch veld bij solenoide