Laplacetransformatie van periodieke functie

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Laplacetransformatie van periodieke functie

Let
\(f\)
satisfy
\(f(t+T)=f(t)\)
for all
\(t \geq 0\)
and for some fixed positive number T; f is said to be periodic with period T on
\(0 \leq t \leq \infty \)
. Show that:
\(\mathcal{L} \left[ f(t) \right]=\frac{\int_0^{T} e^{-st} f(t) \ dt }{1-e^{-sT}}\)


mijn antwoord:
\(\mathcal{L} \left[ f(u) \right]= \int_0^{\infty} e^{-su} f(u) \ du =\int _{-T}^{\infty} e^{-s(t+T)} f(t) \ dt=\int_0^{\infty} e^{-s(t+T)} f(t) \ dt - \int_0^T e^{-s(t+T)} f(t) \ dt \)
\(\int_0^{\infty} e^{-s(t+T)} f(t) \ dt - \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \ dt=\int_0^T e^{-s(t+T)} f(t) \ dt \)
\(\left( e^{-sT}-1 \right) \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \ dt = e^{-sT} \int_0^T e^{-st} f(t) \ dt\)
\(\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \ dt =\frac{e^{-sT}}{e^{-sT}-1} \int_0^T e^{-st} f(t) \ dt=\frac{1}{1-e^{sT}} \int_0^T e^{-st} f(t) \ dt\)


wat doe ik fout?
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Laplacetransformatie van periodieke functie

In je eerste regel doe je volgens mij iets vreemd met de grenzen:
\(\int\limits_{ - T}^\infty f = \int\limits_{ - T}^0 f + \int\limits_0^\infty f = \int\limits_0^\infty f - \int\limits_0^{ - T} f \ne \int\limits_0^\infty f - \int\limits_0^T f\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Laplacetransformatie van periodieke functie

klopt dat had ik ook gezien, maar ik ben er nog niet uit.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Laplacetransformatie van periodieke functie

Om het van 0 tot T te krijgen zou je t-T in plaats van t+T kunnen substitueren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Laplacetransformatie van periodieke functie

dan zit ik toch met f(t-T)?
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Laplacetransformatie van periodieke functie

Ah, het mocht enkel positief. Die tekenfout in de grens was het probleem niet?

Ik heb niet verder gerekend vanaf daar... Dan komt het nog niet uit?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Laplacetransformatie van periodieke functie

ik weet niet hoe ik de min bij de bovengrens wegwerk. Als we weten of de functie even of oneven is, dan wel.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Laplacetransformatie van periodieke functie

Eventueel wil ik dadelijk nog wel eens pluizen naar je foutje (ben even weg zo).

Hier alvast het bewijs zoals ik het me herinner, misschien heb je er wat aan:
\(F\left( s \right) = L\left\{ {f\left( t \right)} \right\} = \int_0^{ + \infty } {f\left( t \right)e^{ - st} dt} = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\int_{nT}^{\left( {n + 1} \right)T} {f\left( t \right)e^{ - st} dt} } \)
Dus sommeren over alle periodes. Substitutie: t = nT + u, geeft:
\(F\left( s \right) = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\int_0^T {f\left( {nT + u} \right)e^{ - su} e^{ - nTs} du} } = \left( {\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {e^{ - nTs} } } \right)\int_0^T {f\left( u \right)e^{ - su} du} \)
Die reeks is meetkundig en convergeert, dus dat is precies:
\(F\left( s \right) = \frac{1}{{1 - e^{ - Ts} }}\int_0^T {f\left( t \right)e^{ - st} dt} \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Laplacetransformatie van periodieke functie

mooi bewijs!
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Reageer