Eventueel wil ik dadelijk nog wel eens pluizen naar je foutje (ben even weg zo).
Hier alvast het bewijs zoals ik het me herinner, misschien heb je er wat aan:
\(F\left( s \right) = L\left\{ {f\left( t \right)} \right\} = \int_0^{ + \infty } {f\left( t \right)e^{ - st} dt} = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\int_{nT}^{\left( {n + 1} \right)T} {f\left( t \right)e^{ - st} dt} } \)
Dus sommeren over alle periodes. Substitutie: t = nT + u, geeft:
\(F\left( s \right) = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\int_0^T {f\left( {nT + u} \right)e^{ - su} e^{ - nTs} du} } = \left( {\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {e^{ - nTs} } } \right)\int_0^T {f\left( u \right)e^{ - su} du} \)
Die reeks is meetkundig en convergeert, dus dat is precies:
\(F\left( s \right) = \frac{1}{{1 - e^{ - Ts} }}\int_0^T {f\left( t \right)e^{ - st} dt} \)