Raaklijn aan een kromme

kotje

Bepaal parametervgl v.d. raaklijn aan de intersectie kromme van x²+2y²+2z²=20 (ellipsoïde) en x²+y²+z=4(paraboloïde) in het punt (0,1,3).

TD

De raaklijn kan je bepalen als snijlijn van de raalvlakken aan resp. de ellipsoïde (E) en paraboloïde (P).

Raakvlak aan E:

\(\nabla E \cdot \left( {x - x_1 ,y - y_1 ,z - z_1 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {0,4,12} \right) \cdot \left( {x - 0,y - 1,z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4y + 12z - 10 = 0\)

Raakvlak aan P:

\(\nabla P \cdot \left( {x - x_1 ,y - y_1 ,z - z_1 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {0,2,1} \right) \cdot \left( {x - 0,y - 1,z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2y + z = 5\)

Raaklijn t = snijlijn van de vlakken:

\(\left\{ \begin{array}{l} 4y + 12z - 10 = 0 \\ 2y + z = 5 = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \lambda \\ y = 1 \\ z = 3 \\ \end{array} \right. \Rightarrow t = \left( {0,1,3} \right) + \lambda \left( {1,0,0} \right)\)

jhnbk

TD schreef:De raaklijn kan je bepalen als snijlijn van de raalvlakken aan resp. de ellipsoïde (E) en paraboloïde (P)

Raakvlak aan E:

\(\nabla E \cdot \left( {x - x_1 ,y - y_1 ,z - z_1 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {0,4,12} \right) \cdot \left( {x - 0,y - 1,z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4y + 12z - 10 = 0\)

mooi redenering

alleen snap ik die eerste stap niet

TD

De vergelijking van een raakvlak aan E(x,y,z) = 0 in het punt A = (x1,y1,z1) is:

\(\left. {\frac{{\partial E}}{{\partial x}}} \right|_A \left( {x - x_1 } \right) + \left. {\frac{{\partial E}}{{\partial y}}} \right|_A \left( {y - y_1 } \right) + \left. {\frac{{\partial E}}{{\partial z}}} \right|_A \left( {z - z_1 } \right) = 0\)

Dit kan je noteren als het scalair product van de gradiënt met (x-x1,y-y1,z-z1).

In mijn notatie is die grad(E) (met nabla genoteerd) in A te nemen natuurlijk.

jhnbk

je spreekt over A, maar je definieert enkel ene punt P?

TD

je spreekt over A, maar je definieert enkel ene punt P?

Dat moet ook A zijn, ik pas het nu aan.

Ik had eerst P, maar dat was misschien verwarrend met de P die ik eerder aan de paraboloïde, vandaar

jhnbk

ah ok, 'k snap het

kotje

Men zou ook nog zo kunnen werken:

\(\nabla\mbox{E}(0,1,3)=4j+12j\mbox{ }\nabla\mbox{P}(0,1,3)=2j+k\)

.Staan loodrecht op E en P in gegeven punt.

Nu neemt men vectoriël produkt van de twee en men krijgt -20i, dus de raaklijn is evenwijdig x-as.

De parametervgl is (0,1,3)+(t,0,0,).

TD

kotje schreef:Men zou ook nog zo kunnen werken:

\(\nabla\mbox{E}(0,1,3)=4j+12j\mbox{ }\nabla\mbox{P}(0,1,3)=2j+k\)
.Staan loodrecht op E en P in gegeven punt.

Nu neemt men vectoriël produkt van de twee en men krijgt -20i, dus de raaklijn is evenwijdig x-as.

De parametervgl is (0,1,3)+(t,0,0,).

Dat kan ook. Bij de eerste gradiënt zal je 12k bedoelen ipv 12j, het is de z-component.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Raaklijn aan een kromme

Raaklijn aan een kromme

Re: Raaklijn aan een kromme

Re: Raaklijn aan een kromme

Re: Raaklijn aan een kromme

Re: Raaklijn aan een kromme

Re: Raaklijn aan een kromme

Re: Raaklijn aan een kromme

Re: Raaklijn aan een kromme

Re: Raaklijn aan een kromme