integreren naar x geeft:
Differentiëren van een integraal
- Berichten: 581
Differenti
Ik kwam het volgende tegen:
integreren naar x geeft:
\( 4\int_{0}^{x}y dx = xy \)
met y(0)=0integreren naar x geeft:
\( 4y = y + x \frac{dy}{dx} \)
Op zich snap ik dit wel, maar het lijkt alsof de integratiegrenzen 0 en x hier geen invloed op hebben. Klopt dit? Waarom niet? Of zie ik iets over het hoofd en hebben ze dat toch?---WAF!---
- Berichten: 24.578
Re: Differenti
Je bedoelt waarschijnlijk afleiden naar x?Geert Van Asbrouck schreef:\( 4\int_{0}^{x}y dx = xy \)met y(0)=0
integreren naar x geeft:
\( 4y = y + x \frac{dy}{dx} \)
Eigenlijk is het niet "netjes" om de integratievariabele (dit is maar een 'dummy'!) ook in de grenzen te hebben. Om dat te vermijden, noem je die x gewoon t. Er staat dan:
\(\int\limits_0^x {ydt} \)
Dan geldt (hoofdstelling):\(\frac{d}{{dx}}\int\limits_0^x {ydt} = y\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 581
Re: Differenti
ik bedoelde idd afleiden, sorry
Ik veronderstel dat je bedoelde :
Ik veronderstel dat je bedoelde :
\( \frac{d}{\underline{dt}}\int\limits_0^x {ydt} = y \)
; dus het maakt hier eigenlijk niets uit welke grenzen er staan omdat de 2 bewerkingen elkaar opheffen. Het feit dat x in de integratiegrenzen staat bracht mij idd in verwarring omdat ik dacht dat deze elkaar beïnvloedden: de x in de integartiegrens heeft dus in feite niks te maken met de x in dx. Ik was even in de kluts kwijt, bedankt.---WAF!---
- Berichten: 24.578
Re: Differenti
Nee hoor, het is wel degelijk d/dx. Zoals ik al zei, die integratievariabele is maar een dummy veranderlijke. In een bepaalde integraal verdwijnt die uiteindelijk altijd! Als je een bepaalde integraal uitrekent waarbij je integreert naar bijvoorbeeld "t", dan zal het resultaat nooit functie zijn van "t"! Hier verdwijnt "t" dus bij integratie, maar "x" komt erin via de grens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 3.330
Re: Differenti
Wat vindt men voor:
\(\frac{d}{dx}\int_x^{2x^2}\mbox{ydt}\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 7.556
Re: Differenti
\(=\frac{d}{dx}\left[2yx^2-yx\right]=y(4x-1)\)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
- Berichten: 24.578
Re: Differenti
Of bedoel je y misschien (impliciet) functie van x? Zo is er niet echt veel aan... pi.gif
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 6.905
Re: Differenti
Of bedoel je y misschien (impliciet) functie van x? Zo is er niet echt veel aan... pi.gif
moet het in datgeval niet
\(\frac{d}{dx}\int_x^{2x^2}\mbox{y(x) dx}\)
of lukt het anders ook nog?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
- Berichten: 581
Re: Differenti
Als ik 2 voorbeeldjes uitwerk met y= f(t) bekom ik verschillende resultaten met verschillende integratiegrenzen,
1) met integratiegrenzen 0 en x :
dan wordt
2) met integratiegrenzen x en 2x :
dan wordt
Doe ik iets fout?
1) met integratiegrenzen 0 en x :
\( \frac{d}{dx}\int\limits_0^x {ydt} \)
met bevoorbeeld \( y = t^{3} \)
dan wordt
\(\frac{d}{dx}\int\limits_0^x {t^{3}dt}= \frac{d}{dx} \frac{x^{4}} {4} = x^{3} \)
; wat klopt want =y2) met integratiegrenzen x en 2x :
\( \frac{d}{dx}\int\limits_x^{2x}{ydt} \)
met bevoorbeeld \( y = t^{3} \)
dan wordt
\(\frac{d}{dx}\int\limits_x^{2x} {t^{3}dt}= \frac{d}{dx}( \frac{16 x^{4}} {4}-\frac{x^{4}} {4}) = \frac{d}{dx} \frac{15 x^{4}} {4}= 15 x^{3} \)
; wat niet klopt want x factor 15Doe ik iets fout?
---WAF!---
- Berichten: 24.578
Re: Differenti
Dat is toch maar notatie? Een functie A->B die x afbeeldt op f(x), kan je ook gewoon f noteren.jhnbk schreef:moet het in datgeval niet\(\frac{d}{dx}\int_x^{2x^2}\mbox{y(x) dx}\)
of lukt het anders ook nog?
Maar dat maakt verder ook niet uit, misschien bedoelde kotje het gewoon zo (maar waarom...?)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 6.905
Re: Differenti
ai, je hebt uiteraard gelijk , 'k ben er niet goed bij vandaag (algoe dat ik maandag pas examen heb dan pi.gif , niet wiskunde, maar toch)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
- Berichten: 24.578
Re: Differenti
Je doet niets fout, maar wat verwacht je dan? De hoofdstelling luidt algemeen:Doe ik iets fout?
\(\frac{\mbox{d}}{{\mbox{d}x}}\int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} = f\left( x \right)\)
Hierin is a een constante, die in het eerdere voorbeeld 0 was. Bovengrens is x."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 581
Re: Differenti
TD schreef:\(\frac{\mbox{d}}{{\mbox{d}x}}\int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} = f\left( x \right)\)Hierin is a een constante, die in het eerdere voorbeeld 0 was. Bovengrens is x.
Ok, de hoofdstelling geldt dus enkel met die grenzen a en x. Natuurlijk! Maar dat had ik eerst niet zo begrepen. Nu lijkt alles inderdaad te kloppen.
Bedankt.
---WAF!---
- Berichten: 24.578
Re: Differenti
Die stelling zegt eigenlijk wat we minder formeel bedoelen met het feit dat integreren (primitieve eigenlijk) en afleiden elkaars "inverse" zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)