wiskunde: complexe getallen

ik heb een probleempje,

deze oefenig over complexe getallen moet ik oplossen maar ik snap de vraag zelfs niet

de vergelijking z^2 + az + b = 0 (a, b element van R) heeft als wortel 2 - i
bepaal a en b en de andere wortel.

als jullie het mij even zouden kunnen uitleggen?

Ik denk dat het meest invoudig toch met de abc-formule is:

z = {-b +/- sqrt(b² - 4ac) } / 2a

nu is in dit geval a = 1, b = a en c = b

dus z = -a/2 +/- sqrt(a² - 4b) / 2

Nu kan alleen de wortel (sqrt) een imaginair getal opleveren.

-a/2 = 2 => a = -4

en sqrt(a² - 4b)/2 = i
=> a² - 4b = -4
=> 16 + 4 - 4b = 0
=> b = 5

De tweede oplossing is 2 + i (ivm +/- voor het wortelteken)

oplossen met de abc-formule, dan krijg je deze twee wortels (oplossingen):

(-a+(a²-4b))/2 en (-a- (a²-4b))/2

Een van deze twee is 2-i, dat is dus de tweede (want die i kan alleen uit een wortel komen, en de wortel in de eerste heeft een positieve factor ervoor terwijl je MIN i nodig hebt).

Dus (-a- (a²-4b))/2 = 2-i
-a/2 moet het reële deel (2) zijn en de -(a²-4b)/2 het imaginaire (-i). Dus a=-4, en dan moet er onder de wortel -4 komen (want -(-4)/2 = -i) dus b=5.

De andere wortel is dan 2+i.

oh, hehe

ik heb een probleempje,

deze oefenig over complexe getallen moet ik oplossen maar ik snap de vraag zelfs niet

de vergelijking      z^2 + az + b = 0  (a, b element van R) heeft als wortel  2 - i
bepaal a en b en de andere wortel.

als jullie het mij even zouden kunnen uitleggen?

Bij reële coefficienten zijn complexe wortels altijd complex geconjugeerd, dus als 2-i een wortel is dan 2+i ook (geldt niet alleen voor kwadratische vergelijkingen maar voor alle nulpunten van polynomen met reële coefficienten). Daarmee wordt het een simpele invuloefening.

bedankt voor deze, waarschijnlijk juiste antwoorden.

maar ik heb één probleem. ik heb sins 2 weken complexe getallen en heb dus nog nooit gehoort van de abc - formule
is er misschien nog een anderre manier. een manier die ik zou kunnen snappen?

sorry hoor

bedankt voor deze, waarschijnlijk juiste antwoorden.

maar ik heb één probleem. ik heb sins 2 weken complexe getallen en heb dus nog nooit gehoort van de abc - formule
is er misschien nog een anderre manier. een manier die ik zou kunnen snappen?

sorry hoor

Nooit gehoord van de abc-formule.
Misschien dat je het onder een andere naam kent

Hoe los jij anders ax²+bx+c op

bedankt voor deze, waarschijnlijk juiste antwoorden.

maar ik heb één probleem. ik heb sins 2 weken complexe getallen en heb dus nog nooit gehoort van de abc - formule
is er misschien nog een anderre manier. een manier die ik zou kunnen snappen?

sorry hoor

Zoals ik al zei:

Bij reële coefficienten zijn complexe wortels altijd complex geconjugeerd, dus als 2-i een wortel is dan 2+i ook (geldt niet alleen voor kwadratische vergelijkingen maar voor alle nulpunten van polynomen met reële coefficienten). Daarmee wordt het een simpele invuloefening.

Hieruit volgt onmiddelijk dat x²+ax+b=(x-2+i)(x-2-i)=x²-4x+5 zodat a=-4 en b=5.

Het hoort hier eigenlijk niet thuis maar voor het geval je je afvraagt waarom het zo is dat wanneer z een nulpunt is van een polymoom P(x) met reële coëfficienten ook z^† een nulpunt is (z^† geeft hier de complex geconjugeerde aan omdat ik geen streepjes boven de letters kan maken) het volgende:
Overtuig je er eerst van dat wanneer z en y twee complexe getallen zijn dat dan geldt: (z+y)^†=z^†+y^† en (zy)^†=z^†y^† (gewoon uitschrijven met z=a+bi en z^†=a-bi).
Hiermee kun je aantonen dat wanneer z een oplossing is van P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...a_nxⁿ=0 dat dan z^† een oplossing is van a^†₀+a^†₁x^†+a^†₂x^†2+...a^†_nx^†n=0 (nl door de complex geconjugeerde van het hele polynoom P(x) te nemen en dat vervolgens met de bovengenoemde gelijkheden op te splitsen).
Omdat voor reële coëfficienten a_k=a^†_k volgt heel eenvoudig dat z^† een nulpunt is van P(x).

Ik geloof dat ik meelij met je moet hebben. Je moet een kwadratische verg behandelen en je kent de abc-formule niet. De gestelde vraag begrijp je zelfs niet! Welke opleiding volg je eigenlijk? Waar komt die opdracht vandaan? Genoeg daarover! Op internet kan je veel over de kw verg vinden.
Maar nu de complexe getallen, ook helemaal onbekend?
Bert merkte al op dat als de verg reele coefficienten heeft, de complexe oplossingen geconjugeerd zijn. Dwz als z=p+iq (met p,q reeel) een opl is dan is ook z=p-iq ook een opl. Ik ga dat hier niet bewijzen.

Vroeger leerde je van de kw verg: ax²+bx+c=0, dat als de opl x1 en x2 zijn geldt: x1+x2=-b/a en x1*x2=c/a en (gek genoeg) dat geldt ook als er geen opl zijn, maw als de discriminant kleiner dan 0 is.
Ook dit ga ik niet bewijzen maar kan jezelf (makkelijk, ook met letters) nagaan.

Nu even op een rij zetten:
z²+az+b=0 en z1=2-i dus z2=2+i (zie boven)
Nu volgt: z1+z2=2-i+2+i=4=-b (zie boven)
en z1*z2=(2-i)(2+i)=4+1=5=c (zie boven)
De vraag had dus beter kunnen luiden: geef de andere wortel en bereken a en b. Zoals je ziet a=-4 en b=5 (zoals Bert al meldde)

Ik hoop niet dat ik iemand verveeld heb!

Ik las nu net dat Bert over geconjugeerde oplossingen de zaak nader toelichtte.
Gelukkig is het bewijs van de stelling: 'als een polynoom met reele coeff een complexe oplossing heeft ook de geconjugeerde een opl is', veel eenvoudiger als de rekenregels met geconjugeerden bekend zijn!