Oefening toepassingen afgeleiden

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 609

Oefening toepassingen afgeleiden

Hallo

Opgave:

=====

Voor welke waarde(n) van x bereikt de kromme y = ln(x² + 1) + arctan(x) een punt waar de raaklijn een hoek van 45° maakt met de X as (othogonaal assenstelsel)?

Hoe ik het heb opgelost :

================

f(a) = f(pi / 4) = ln((pi / 4)^2) + 1) + arctan(pi / 4) =

f'(x) = 1 ==> 1 / (x² - 1) * 2x + (1 / (1 + x²))

x² + x -2x + 1 = 0

Is het zo is ziet ik hier wat fout ?

Berichten: 2.746

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

ik snap niet goed wat je daar doet, met a en Pi foefelen enzo?

zoek gewoon het punt waar de afgeleide 1 wordt.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

1/(x^2-1) .2x moet zijn: 1/(x^2+1).2x

x^2-2x=0 x.(x-2)=0 x=0 x=2

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

Is het zo is ziet ik hier wat fout ?
Bij je eerste stap vul je voor x 1/4pi in, maar 1/4pi (radialen) is niks anders dan 45 graden.

Wat je nodig hebt is een punt waar de raaklijn een hoek van 1/4pi radialen maakt met de x-as. De hoek heeft met de helling te maken, en helling is gelijk aan: y/x.
\(\tan{\theta}=y/x=\tan{1/4 \pi}=1\)
Dus om de x coordinaat te vinden kan je y afleiden en gelijk stellen aan 1.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

De afgeleide in een punt geeft de rico van de raaklijk, die moet 1 zijn.

Dus bepaal de afgeleide, stel gelijk aan 1 en vind (hopelijk) x=0 en x=2.

[graph=-3,3,-1,4]'log(1+pow(x,2))+atan(x)'[/graph]
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 609

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

[de afgeleide is toch :

1 / (x² + 1) * 2x = 1

en dan?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

\(\frac{dy}{dx}=\frac{2x+1}{x^2+1}\)

Berichten: 609

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

moet ik dan die x daar uit halen of eerst afleiden?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

\(y = \ln{(1 + x^2)} + \arctan{(x)}\)
\(y'=\frac{2x}{1+x^2}+\frac{1}{1+x^2}=\frac{2x+1}{1+x^2}\)
Dus je moet x oplossen uit:
\(\frac{2x+1}{1+x^2}=1\)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

Je moet de x waarden vinden waarbij de raaklijn een hoek van 45 graden maakt met de positieve x-as.

Nu is de waarde van eerste afgeleide niets anders dan de tangens van de hoek waaronder die raaklijn staat.

De hoek waaronder de raaklijn staat is 45 graden. De tangens van 45 gr. =1 . Dus dy/dx=1

De teller is dan gelijk aan de noemer. 2x+1=x^2+1 x^2 -2x+1-1=0

Berichten: 609

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

Morzon schreef:
\(y = \ln{(1 + x^2)} + \arctan{(x)}\)
\(y'=\frac{2x}{1+x^2}+\frac{1}{1+x^2}=\frac{2x+1}{1+x^2}\)
Dus je moet x oplossen uit:
\(\frac{2x+1}{1+x^2}=1\)
2x + 1 = 1 + x²

-x² + 2x + 1 = 1

zo iets of ben ik verkeerd

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

Stef31 schreef:2x + 1 = 1 + x²

-x² + 2x + 1 = 1

zo iets of ben ik verkeerd
Dat klopt! Maar dan moet je nog x oplossen, dus:
\(-x^2+2x+1-1=0 \Leftrightarrow -x^2+2x=0\)
Nu mag je ABC formule gebruiken om x op te lossen. Of je kan de bovenstaande nog eenvoudiger schrijven:
\(-x^2+2x=-x(x-2)=0\)
En zo zie je direct wat x is.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Berichten: 609

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

krijg een x = 2

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

ja, maar er is nog een oplossing: -x(x-2)=0 dan is -x=0 of x-2=0 dus x=0 en x=2 zijn beide oplossingen van de vergelijking.

Met de abc formule krijg je:
\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4 \cdot -1 \cdot 0}}{-2}=\frac{-2 \pm 2}{-2}=1 \pm -1\)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oefening toepassingen afgeleiden

Je kan toch ontbinding in factoren, Stef? De abc-formule is hier niet nodig.

Je weet: ab = 0 als a of b gelijk is aan 0, nu is het x(x-2) = 0, dus...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer