Oneindige som berekenen

kotje

Bereken:

\(\sum_{k=2}^{\infty}\ln{(1-\frac{1}{k^2})\)

TD

\(\sum\limits_{k = 2}^{ + \infty } {\ln \left( {1 - k^{ - 2} } \right)} = \ln \left( {\prod\limits_{k = 2}^{ + \infty } {\left( {1 - k^{ - 2} } \right)} } \right) = \ln \left( {\prod\limits_{k = 2}^{ + \infty } {\left( {\frac{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{k^2 }}} \right)} } \right)\)

Algemene factor gaat naar 1 voor k naar +â, zoals gewenst voor convergentie.

In de opeenvolgende factoren valt alles weg, behalve (k-1)/k vd eerste factor.

In k = 2 geeft dat 1/2 als oneindig product, zodat de reeks ln(1/2) = -ln(2) is.

EvilBro

Ik had het zo gedaan:

\(\sum\limits_{k = 2}^{ + \infty } {\ln \left( {1 - k^{ - 2} } \right)} = \ln \left( {\prod\limits_{k = 2}^{ + \infty } {\left( {1 - k^{ - 2} } \right)} } \right) = \ln \left( {\prod\limits_{k = 2}^{ + \infty } {\left( {\frac{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{k^2 }}} \right)} } \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \left( {\prod\limits_{k = 2}^{ n } {\left( {\frac{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{k^2 }}} \right)} } \right)\)

\(= \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \left( \frac{n+1}{2 n} \right) = \ln \left( \frac{1}{2} \right)\)

De equivalentie van het product en de 'n-breuk' kun je aantonen met volledige inductie.

kotje

Ik had het zo berekend:

\(\sum_{k=2}^{\infty}\ln{\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\sum_{k=0}^{\infty}(\ln\frac{k-1}{k}+\ln\frac{k+1}{k})=ln\frac{1}{2}+\ln\frac{2}{3}+\ln\frac{3}{2}+\ln\frac{3}{4}+\ln\frac{4}{3}+. . .=-\ln{2}\)

TD

Ook leuk, komt natuurlijk allemaal min of meer op hetzelfde neer.

Ik zie ook niet direct een volledige andere aanpak hiervoor...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Oneindige som berekenen

Oneindige som berekenen

Re: Oneindige som berekenen

Re: Oneindige som berekenen

Re: Oneindige som berekenen

Re: Oneindige som berekenen