Limiet

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 03-08-'07, 15:23

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Limiet

Bewijs dat
\(\forall n \in \nn_0 : \lim_{x \to + \infty} \frac{ \ln{x}}{x ^{\frac{1}{n}}} = 0\)
Omhoog

Bericht 03-08-'07, 15:46

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Limiet

substitutie p=1/x dan volgt:
\(\lim_{p \rightarrow 0} \ln{\frac{1}{p}} \cdot p^{\frac{1}{n}}\)


edit: Het was niet mijn bedoeling om dit te posten.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 03-08-'07, 16:02

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Limiet

edit: Het was niet mijn bedoeling om dit te posten.
Uhm, ok... :D

Als ik de L'hôpital gebruik:
\(\frac{ \ln{x}}{x ^{\frac{1}{n}}} \rightarrow \frac{x^{-1}}{n^{-1}x^{\frac{1}{n}-1}} = x^{-1} \cdot n x^{-\frac{1}{n}+1} = nx^{-\frac{1}{n}}\)
Dat lijkt niet goed te gaan.
Omhoog

Bericht 03-08-'07, 16:03

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Of via x = exp(y) krijg je y/exp(y/n) en een exponentiële domineert altijd een rationale.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 03-08-'07, 16:09

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Limiet

Inderdaad, dan kom ik er helemaal uit. Als ik x = exp(ny) gebruik komt het zelfs nog iets duidelijker over. Bedankt.
Omhoog

Bericht 03-08-'07, 16:10

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Limiet

Rov schreef:Uhm, ok... :D

Als ik de L'hôpital gebruik:
\(\frac{ \ln{x}}{x ^{\frac{1}{n}}} \rightarrow \frac{x^{-1}}{n^{-1}x^{\frac{1}{n}-1}} = x^{-1} \cdot n x^{-\frac{1}{n}+1} = nx^{-\frac{1}{n}}\)
Dat lijkt niet goed te gaan.
Mag je eigenlijk dat wel een bewijs noemen als het met L'Hopital lukt? Die van mij en TD zijn toch ook niet echt bewijzen?

edit: Alweer! Ik druk telkens op "Plaats bericht" in plaats van "voorbeeld bericht"
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 03-08-'07, 16:19

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Inderdaad, dan kom ik er helemaal uit. Als ik x = exp(ny) gebruik komt het zelfs nog iets duidelijker over. Bedankt.
Dat kan ook, maar waar die n steekt maakt niet echt uit...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 03-08-'07, 16:22

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Limiet

Mag je eigenlijk dat wel een bewijs noemen als het met L'Hopital lukt? Die van mij en TD zijn toch ook niet echt bewijzen?
Waarom niet?
Omhoog

Bericht 03-08-'07, 16:25

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Limiet

Rov schreef:Als ik de L'hôpital gebruik:

...

Dat lijkt niet goed te gaan.
Wat gaat er dan niet goed?
Omhoog

Bericht 03-08-'07, 16:27

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Mag je eigenlijk dat wel een bewijs noemen als het met L'Hopital lukt?
L'Hôpital is prima... Dat is toch een bewezen stelling, geen "keukentrucje"...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 03-08-'07, 16:34

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Limiet

Wat gaat er dan niet goed?
Geen idee, maar het lijkt mij niet naar de juiste oplossing te gaan...

Of dat leek toch zo, nu ik het nog eens bekijk wel. Die x^(-1/n) gaat naar 0 en dat geeft 0*n = 0. Dus ik zat toch goed.
Omhoog

Bericht 03-08-'07, 18:20

Keith

Berichten: 308

Re: Limiet

Rov schreef:Geen idee, maar het lijkt mij niet naar de juiste oplossing te gaan...

Of dat leek toch zo, nu ik het nog eens bekijk wel. Die x^(-1/n) gaat naar 0 en dat geeft 0*n = 0. Dus ik zat toch goed.
ik dacht ook al...een negatieve exponent...

dus n*x^(-1/n)

= n/(x^(1/n))

---> lim n/(x^(1/n))

x->oo

= n/oo

=0
The exclamation that follows a worldchanging invention isn't"Eureka". It is "That's funny"
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”