Limiet

kotje

Bepaal

\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+e^{\frac{3}{n}}+...+e^{\frac{n}{n}}}{n}\)

Bert F

Ik ga me hier niet aan wagen want ik zit toch altijd mis maar waar is die x in je limiet of bedoel je dat x=n?

Morzon

\(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{\frac{1}{x}}+e^{\frac{2}{x}}+...+e^{\frac{n}{x}}}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{e^{\frac{i}{x}}}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{n \cdot 1}{x}=0\)

TD

Hier wordt geknoeid met x en n... Ik denk dat kotje de limiet voor n bedoelde en dat Morzon overal x zou moeten schrijven (of n dus...)

Ik vind niet 0, maar e-1.

kotje

Bepaal
\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+e^{\frac{3}{n}}+...+e^{\frac{n}{n}}}{n}\)

Ik ekskuseer mij maar er moet natuurlijk staan

\(n\rightarrow+\infty\)

.

EvilBro

De opgave is dus dat je moet bewijzen dat geldt:

\(\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{e^{\frac{k}{n}}}{n} = e - 1\)

Hint voor de mensen die zich afvragen waar die 'e-1' vandaan komt: gebruik de meetkundige reeks en de regel van L'Hôpital.

TD

Of denk aan een Riemann-som -> Riemann-integraal. Zeer eenvoudig dan.

EvilBro

Of denk aan een Riemann-som -> Riemann-integraal. Zeer eenvoudig dan.

Kan natuurlijk ook, maar mijn ervaring leert dat mensen het lastig vinden om een Riemann-som te herkennen in het wild.

kotje

TD schreef:

Of denk aan een Riemann-som -> Riemann-integraal. Zeer eenvoudig dan.

Ik ben ook van die mening. Verdeel interval [0,1] in stukjes 1/n dan krijgen we voor de som

\(\int_0^1\mbox{e^xdx}\)

wat direct het gewenste resultaat oplevert.

TD

Kan natuurlijk ook, maar mijn ervaring leert dat mensen het lastig vinden om een Riemann-som te herkennen in het wild.

De eerste keer is dat heel lastig te zien, maar als je het al eens tegenkwam dan schreeuwt deze er toch ook vrij duidelijk om.

stoker

ik vraag me af of je volgende opgave op diezelfde manier kan oplossen;

\(\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^p}{n^{p+1}}\)

stoker

idem voor

\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2} + ... + \sqrt{n}}{n^p}\)

mijn leraar lost ze op met de insluitingsmethode (tussen integralen) maar het lijkt wel sterk op integralen eh?

TD

Die laatste is hier voor p = 1 al eens aan bod geweest.

Werd toen zowel met een integraal als via insluiting opgelost.

stoker

voor p=1 kan ik het ook, maar ik heb het algemeen nodig. en dan besluiten, als p> ... dan .. enzoverder.

Maar die kan je niet oplossen met algenene p?

TD

Zie hier. Deel dan niet door n.sqrt(n) maar door n^p en maak dan voor de limieten je gevalonderscheid.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Limiet

Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet

Re: Limiet