Mijn broer heeft wat hulp nodig bij het voorbereiden van zijn herexamens, en aangezien ik de integraal pas het komende schooljaar aangeleerd wordt, vraag ik jullie hier deze voor mijn broer op te lossen. Ik kan er geen weg mee, en mijn broer vindt geen oplossing.
Wie o wie lost de volgende vraag (liefst met zoveel mogelijk uitwerking, want mijn broer heeft het antwoord al) zo snel mogelijk op?
\( \int \sqrt{1-x^2} \; dx\)
Alle hulp alvast geapprecieerd!
Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."
HosteDenis schreef:Mijn broer heeft wat hulp nodig bij het voorbereiden van zijn herexamens, en aangezien ik de integraal pas het komende schooljaar aangeleerd wordt, vraag ik jullie hier deze voor mijn broer op te lossen. Ik kan er geen weg mee, en mijn broer vindt geen oplossing.
Wie o wie lost de volgende vraag (liefst met zoveel mogelijk uitwerking, want mijn broer heeft het antwoord al) zo snel mogelijk op?
\( \int \sqrt{1-x^2} \; dx\)
Alle hulp alvast geapprecieerd!
Denis
Je ziet dat de integrand tussen -1 en 1 moet liggen!?! Probeer eens de substitutie x=sin(y) (of y=cos(x)). Dan is dx=cos(y)dy. Dan heb je nog een formule nodig... !
Klopt, meer algemeen ook voor wortelvormen van x²-a² of x²+a², maar dan een andere goniometrische substitutie. Je maakt dan steeds gebruik van een formule, zodanig dat je de wortel kwijtspeelt. Zie deze pagina, onderaan: "Goniometrische substituties".
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Volgens mij ontbreken er nu vierkantswortels in je uitdrukkingen voor sin(x) en cos(x). Vandaar is die vorm vooral handig als er even machten van sinus en cosinus voorkomen, de wortel valt dan weg. Algemener is de substitutie t = tan(x/2) handig, dan geldt:
sin(x) = 2t/(1+t²), cos(x) = (1-t²)/(1+t²) en dx = 2dt/(1+t^2)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)