Ik ga er even vanuit dat een symmetrische stochastische variabele wil zeggen dat voor de kansdichtheidsfunctie geldt:
\(p(a+x) = p(a-x)\)
Met de definitie van het derde moment schrijven we:
\(E[(x-a)^3] = \int_{-\infty}^{\infty} p(u) (u-a)^3 du = \int_{-\infty}^{\infty} p(a+u-a) (u-a)^3 d(u-a) = \int_{-\infty}^{\infty} p(a+t) t^3 dt\)
\( = \int_{-\infty}^{0} p(a+t) t^3 dt + \int_{0}^{\infty} p(t+a) t^3 dt = \int_{-\infty}^{0} p(a-(-t)) (-(-t)^3) (-d(-t)) + \int_{0}^{\infty} p(a+t) t^3 dt\)
(Let op: de eerste term wordt hier 'gewoon' geschreven als functie van -t. De mintekens zorgen op dit moment nog even voor een onoverzichtelijk geheel.)
\(= \int_{-\infty}^{0} p(a-(-t)) (-t)^3 d(-t) + \int_{0}^{\infty} p(a+t) t^3 dt = \int_{\infty}^{0} p(a-w) w^3 dw + \int_{0}^{\infty} p(a+t) t^3 dt\)
\(= -\int_{0}^{\infty} p(a-w) w^3 dw + \int_{0}^{\infty} p(a+t) t^3 dt\)
Met de symmetrie:
\(= -\int_{0}^{\infty} p(a+w) w^3 dw + \int_{0}^{\infty} p(a+t) t^3 dt = 0\)
Dat uit de symmetrie voorwaarde volgt dat
\(E[x]\) gelijk is aan
\(a\) laat ik even als oefening aan jou over.
