Vereenvoudigen

kotje

Druk uit in x:

\(\sin(\tan^{-1}(x))=?\)

TD

Via goniometrische formules:

\(1 + \tan ^2 x = \frac{1}{{\cos ^2 x}} \Leftrightarrow \cos ^2 x = \frac{1}{{1 + \tan ^2 x}}\)

Dus is:

\(\sin \left( {\arctan x} \right) = \sqrt {1 - \cos ^2 \left( {\arctan x} \right)} = \sqrt {1 - \frac{1}{{1 + x^2 }}} = \frac{x}{{\sqrt {1 + x^2 } }}\)

TD

Meetkundig, via een rechthoekige driehoek.

Beschouw een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 1 en x, dus schuine zijde sqrt(1+x²).

Bekijk vanuit een hoek a zodat x de overstaande is en 1 de aanliggende, dan is tan(a) = x.

Dus de hoek a is gelijk aan arctan(x). De sinus hiervan is de overstaande gedeeld door de schuine.

Maar de overstaande was x en de schuine sqrt(1+x²), dus sin(a) = sin(arctan(x)) = x/sqrt(1+x²).

kotje

Met de rechthoekige driehoek gaat dit gemakkelijk. Maar om het teken te bepalen denk ik toch dat men algebraïsch moet werken of eenvoudig het teken uit de opgave bepalen ik vind

.

TD

In de afleiding adhv de formules geldt de eindoplossing alleen voor x > 0. Vollediger:

\(\sin \left( {\arctan x} \right) = \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {1 + x^2 } }}\)

kotje

Het domein van x in arctan(x) is volgens mij ]-

,+

[ En arctan(x) ligt tussen ]-pi/2,+pi/2[ dus de uitkomst mag men schrijven als

\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)

TD

Lijkt me te kloppen.

EvilBro

En arctan(x) ligt tussen ]-pi/2,+pi/2[

Pas op: dit is alleen waar als je 'arctan' gebruikt om de hoofdwaarde van de functie te beschrijven.

kotje

Evilbro schreef:

Pas op: dit is alleen waar als je 'arctan' gebruikt om de hoofdwaarde van de functie te beschrijven.

Denk eraan dat arctan de inverse functie van tan, dus als horizontale lijnen de tan in verschillende punten snijden dan worden dit verticale lijnen voor de inverse functie en krijgen we verschillende y-waarden voor één x-waarde dus .... Dus arctan is alleen gedefinieerd in ]-pi/2,pi/2[.

TD

Of in een ander interval, maar je moet het bereik sowieso beperken als je een functie wil hebben.

EvilBro

Denk eraan dat arctan de inverse functie van tan,

Nee, dat is onzin. Als de arctan-functie een inverse functie van tan was dan zou moeten gelden:

\(\arctan(tan(\theta)) = \theta\)

Ik zou zeggen: probeer het eens met \(\theta = \pi\).

Maar je loopt dus precies in de val waarvoor ik waarschuwde. Arctan is een zogenaamde 'multivalued function' (zie bijvoorbeeld dit) en dus eigenlijk geen echte functie. Meestal wordt met de notatie 'arctan' de hoofdwaarde van de arctan bedoeld. Dat dit niet altijd zo hoeft te zijn, was de reden van mijn 'pas op'-post (en gezien je reactie was die post geen overbodige luxe).

kotje

EvilBro schreef:Nee, dat is onzin. Als de arctan-functie een inverse functie van tan was dan zou moeten gelden:

\(\arctan(tan(\theta)) = \theta\)
Ik zou zeggen: probeer het eens met \(\theta = \pi\).

Maar je loopt dus precies in de val waarvoor ik waarschuwde. Arctan is een zogenaamde 'multivalued function' (zie bijvoorbeeld dit) en dus eigenlijk geen echte functie. Meestal wordt met de notatie 'arctan' de hoofdwaarde van de arctan bedoeld. Dat dit niet altijd zo hoeft te zijn, was de reden van mijn 'pas op'-post (en gezien je reactie was die post geen overbodige luxe).

Ik persoonlijk vind het woord 'onzin' niet gepast in deze context. Ik wil Evilbro er op wijzen dat we hier in de verzameling van de reële getallen zitten en geen complexe getallen waar we multivalued functies hebben. Hier hanteer ik de gewone definitie van een functie bij ieder x juist één y. Ik meen dat ik en TD het hierover eens zijn zoals ik uit zijn posting moet begrijpen moet men daarom het domein van arctan begrenzen zoals ik ook heb aangegeven.

Zie ook hier

EvilBro

Ik wil Evilbro er op wijzen dat we hier in de verzameling van de reële getallen zitten en geen complexe getallen waar we multivalued functies hebben.

Zucht... multivalued functions zijn echt niet alleen beperkt tot het complexe domein (denk aan wortels).

Hier hanteer ik de gewone definitie van een functie bij ieder x juist één y.

Van de site die je zelf hebt gequote: "Technical note: Since none of the six trig functions sine, cosine, tangent, cosecant, secant, and cotangent are one-to-one, their inverses are not functions."

Je zult dus als je een functie wilt krijgen, het domein moeten beperken (staat ook in je link). Hoe je dit doet is arbitrair (dit is het punt dat je niet lijkt te snappen). En dan zijn we weer terug bij mijn opmerking dat jij kiest voor de hoofdwaarde, maar dat deze keuze wel bewust gedaan moet worden...

TD

Je zult dus als je een functie wilt krijgen, het domein moeten beperken (staat ook in je link). Hoe je dit doet is arbitrair (dit is het punt dat je niet lijkt te snappen).

Hier toch even opletten: we beperken net het codomein (domein kan heel R zijn) en dat is niet volledig arbitrair, tenminste als je een functie wil.

EvilBro

Okee, misschien iets te slordig in mijn taalgebruik. Punt blijft echter dat je elk van de krommes hieronder kan gebruiken om een 'inverse' van de tan(x) te construeren. De inverse bestaat natuurlijk niet (want bij een y-waarde horen meerdere x-waardes).

[graph=-12,12,-3,3] 'tan(x)' [/graph]

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Vereenvoudigen

Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen

Re: Vereenvoudigen