Y' = c*y

foodanity

Als de afgeleide gelijk is aan c*y, met

\(y(0)=a\)

geeft

\(y = a \cdot e^{c \cdot x}\)

Maar hoe komt men tot die vergelijking van y?

Waarom het zo is snap ik wel, immers: substitutie geeft

\(y' = c \cdot a \cdot e^{c \cdot x}\)

primitiveren van y' geeft y, dus ene kant primitiveren moet je ook andere kant substitueren, afgeleide van

\([e^{c.x}]' = c \cdot e^{c.x} \)

dus moet bij het primitiveren de waarde die je weg mag strepen al in de macht van e staan. Substitutie van y geeft:

\(y' = c \cdot a \cdot e^{c \cdot x}\)

en dus

\(y = a \cdot e^{c.x}\)

En dat klopt.

foodanity

Ik denk al dat ik een deel snap:

We moeten een machtsfunctie hebben met

\(a \cdot z^t\)

want er moet bij t = 0, a uitkomen en dus moet het een machtsfunctie zijn.

De rest kan ik zelf niet afleiden, maar nu ik de oplossing weet van de vergelijking kan ik wel begrijpen waarom, wat ik dus al had uitgelegd.

Maarja, ben nu 1 stapje dichterbij

stoker

Dat is de moeilijheid bij differentiaalvergelijkingen, je hebt geen algemene oplossingsmethode. Mogelijkheden zijn proberen, 'op zicht', met voorkennis van oplossingen van andere, gekende differentiaalvergelijkingen, symbolische wiskundeprogrammas, ...

De enige houvast is, als je oplossing(en) hebt, weet je of je ze allemaal hebt (zie stelling), en je weet ook of ze juist zijn (controle zoals jij uitvoerde).

Sjakko

Deze som is toch gewoon op te lossen zonder vage aannamen en schatting van de vorm van de oplossing?

Stel y=y(t)

\(y'=cy\)

d.w.z.

\(\frac{dy}{dt}=cy\)

ofwel

\(\frac{dy}{y}=cdt\)

ofwel

\(\int \frac{dy}{y}=c \int dt\)

\(ln(y)=ct+K\)

\(y=e^{ct+K}\)

ofwel

\(y=e^K \cdot e^{ct}\)

Stel nu y(0)=a, na invullen geeft dat:

\(y=ae^{ct}\)

TD

De techniek die Sjakko hier toepast (maar niet altijd werkt) is "scheiden van de veranderlijken", je integreert dan beide leden.

We moeten een machtsfunctie hebben met
\(a \cdot z^t\)
want er moet bij t = 0, a uitkomen en dus moet het een machtsfunctie zijn.

Hier moet je voorzichtig mee zijn, a.cos(t) is in t = 0 bijvoorbeeld ook gelijk aan a...

foodanity

Sjakko schreef:
\(\int \frac{dy}{y}=c \int dt\)

\(ln(y)=ct+K\)

Ik snap dit niet helemaal? Hoe is de integraal van dy/y = ln y ?

Morzon

standaard integraal:

\(\int \frac{1}{x} \ dx = \ln{|x|}\)

omdat

\(\frac{d}{dx} \ln{x}=\frac{1}{x}\)

voor x groter dan 0

TD

Hier vind je een lijst met (basis)integralen.

foodanity

Oke, ik snap m nu, thx

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Y' = c*y

Y' = c*y

Re: Y' = c*y

Re: Y' = c*y

Re: Y' = c*y

Re: Y' = c*y

Re: Y' = c*y

Re: Y' = c*y

Re: Y' = c*y

Re: Y' = c*y