Springen naar inhoud

Integreerbaarheid


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 12:45

Als functie f Riemann-integreerbaar is over segment [0;1],
volgt daar dan automatisch uit dat f Lebesgue-integreerbaar is over [0;1]?

Antwoord:
a) Ja, want ...
b) Nee, want ...
c) Geen idee.

Veranderd door PeterPan, 21 augustus 2007 - 12:46


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 14:45

Hoi PeterPan, leuk dat je er weer bent.

Mijn antwoord:
c) pi.gif
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 15:03

Ja, want Lebesgue kan alles wat Riemann ook kan.

Doe toch maar geen idee.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 15:35

a) ja, want... "alle Riemann-integreerbare functies zijn Lebesgue-integreerbaar, en de waarden van de twee integralen stemmen overeen" stelt wiki

Veranderd door Phys, 21 augustus 2007 - 15:35

Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 16:05

a) ja, want... "alle Riemann-integreerbare functies zijn Lebesgue-integreerbaar, en de waarden van de twee integralen stemmen overeen" stelt wiki

Tegenvoorbeeld:
LaTeX is Riemann-integreerbaar over LaTeX maar niet Lebesgue-integreerbaar (want niet absoluut integreerbaar).

Op domein [0;1] geldt Riemann-integreerbaar LaTeX Lebesgue-integreerbaar,
omdat onder- en bovensommen geinterpreteerd kunnen worden als integralen van trapfuncties.

Stel f is differentieerbaar op [0;1] met afgeleide f'.
Welke van de volgende beweringen zijn correct:
a) f' is continu
b) f' is Riemann-integreerbaar
c) f' is Lebesgue-integreerbaar

#6

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 16:57

a)juist
b)juist
c)geen antwoord, want Lebesque kan er voorlopig bij mij (misschien nooit) in. pi.gif
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24134 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 19:20

Dat f afleidbaar is impliceert wel continu´teit van f, maar niet noodzakelijk continu´teit van f' volgens mij...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 19:22

Ik dacht dat ook, maar vind geen tegenvoorbeeld. pi.gif

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24134 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 19:27

Ik dacht aan f(x) = x▓.sin(1/x). Afleidbaar in 0 (als we f(0) = 0 stellen), maar geen continue afgeleide in 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 19:38

Ja, mooi gevonden.
Die integreerbaarheidsvragen, dat is allicht op [0;1]? In dat geval zijn alledrie de keuzes correct.

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 20:53

Ja, mooi gevonden.
Die integreerbaarheidsvragen, dat is allicht op [0;1]? In dat geval zijn alledrie de keuzes correct.

Wat bedoel je daarmee.

Volgens mij is de afgeleide van f(x) = x^2*sin(1/x) wel degelijk continu in 0 als f(0)=f'(0)=0 gesteld wordt.

De bewering f' is continu is niet correct. Voorbeeld?
Is f' Riemann-integreerbaar?
Is f' op [0;1] Lebesgue-integreerbaar?

Veranderd door PeterPan, 21 augustus 2007 - 20:58


#12

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 21:06

Volgens mij is de afgeleide van f(x) = x^2*sin(1/x) wel degelijk continu in 0 als f(0)=f'(0)=0 gesteld wordt.

Sorry, het is inderdaad een correct voorbeeld.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24134 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 21:07

Volgens mij is de afgeleide van f(x) = x^2*sin(1/x) wel degelijk continu in 0 als f(0)=f'(0)=0 gesteld wordt.

Volgens mij toch niet, de term cos(1/x) in de afgeleide blijft oscilleren.

Edit: okÚ, te laat gezien. Die stelling is dus inderdaad fout pi.gif
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 21:13



Ik moet mijn antwoord, na antwoord TD veranderen de gegeven functie heeft geen afgeleide in 0, zelfs de limiet bestaat er niet.
dus:
a)niet juist
b)wel juist want de primitieve f' bestaat in [0,1]
c)zie boven

Veranderd door kotje, 21 augustus 2007 - 21:14

Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#15

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 21 augustus 2007 - 21:24

Wonderlijk genoeg is f' niet automatisch Riemann-integreerbaar!
Voorbeeld?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures