aadkr, het is lastig. Ik doe namelijk net iets anders dan jij. Ik probeer ringen van boven naar beneden te maken, vandaar dat ik hier cos gebruik ipv sin
Uitgaande van het bovenstaande plaatje. σ is hier de massa oppervlakte dichtheid en M staat voor de totale massa en ik heb de ongedefinieerde verticale as maar als z genomen...
Uitgaande van het traagheidsmoment van een ring, namelijk
\(MR^2\Rightarrow dI=x^2dM\)
kom ik uiteindelijk op deze integraal
\(I=2\pi\sigma\int_{-R}^R x^3 dz=2\pi\sigma\int_{-R}^R (R^2-z^2)^\frac{3}{2} dz\)
en dit geeft uiteindelijk als antwoord
\(\frac{3}{4}\pi^2\sigma R^4=\frac{3}{16}\pi MR^2\)
en dat is dus niet goed.
Het rare is wanneer je de integraal zo opschrijft.
\(I=2\pi\sigma\int_{-R}^R x^3 dz=2\pi\sigma\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} R^3cos^3(\theta) d\theta\)
dit geeft wel het goede antwoord, namelijk
\(\frac{8}{3}\pi\sigma R^4=\frac{2}{3}MR^2\)
Volgens mij zijn dit twee exact dezelfde beschrijvingen van het probleem. Ik heb me dus dood zitten staren op de eerste 'foute' oplossing. Ik vind het zo raar dat die twee niet dezelde uitkomst geven
Voor een massieve bol werkt dit namelijk prima.
Iemand die weet waaraan het ligt?