Primitiveren

Sylvie

Hallo,

Ik kom er bij het primitiveren van deze functie niet uit vanwege de ln x die er in de de teller staat. Hierdoor weet ik niet zo goed hoe ik dit moet aanpakken..

$ \int_1^4 \frac{\ln x}{x} dx $

Ik weet wel dat de primitieve van lnx = xlnx - x, en die van 1/x = ln x.. Maar hiermee kom ik niet op het goede antwoord.. Hoe kan ik hier het beste mee beginnen?

stoker

je ziet dat je integrandum

$ln(x) \frac{1}{x}$

is. Wat is het verband tussen die twee delen van het integrandum, en als je dat weet, welke oplossingsmethode past daar bij? (of zou daar bij kunnen passen)

karensouvereyns

Oke, ik begin me nu ineens spontaan iets af te vragen:

Als je die integraal oplost volgens:

$ \int_1^4 \\(ln x) dlnx $

dan kan je toch gewoon substitutie toepassen:

en dan krijg je ... als ik goed ben ...

(lnx^2/2) --> (ln4)^2 / 2 - 0

Maar ... stel dat ik dat nu ga oplossen via partiele integratie

Dan krijg ik toch:

$ lnx . lnx - \int \\(ln x) dlnx $

en dan kom je toch bij beide oefeningen iets verschillends uit

Ik realiseer mij dat nu pas, en ik vraag me af waar ik fout redeneer...

stoker

bij substituie moet je ook de grenzen aanpassen,

en je verwart de topicstarter best niet te veel

karensouvereyns

ik wil haar ook niet verwarren ... maar daarom heb ik nog geen antwoord op mijn vraag gekregen.

Zou je me een pm kunnen sturen met daarin de uitleg?

stoker

wel, je moet je grenzen nog aanpassen, die 1 en 4 blijven niet staan na substitutie

$Afbeelding$

Rov

karensouvereyns schreef:Maar ... stel dat ik dat nu ga oplossen via partiele integratie

Dan krijg ik toch:

$ lnx . lnx - \int \\(ln x) dlnx $
en dan kom je toch bij beide oefeningen iets verschillends uit

Ik realiseer mij dat nu pas, en ik vraag me af waar ik fout redeneer...

Dat is niet partiele integratie, dat is gewoon ln(x)ln(x) - dezelfde integraal:

$ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int g(x) f'(x) dx$

of ook wel

$\int fdg = fg - \int gdf$

Jij doet gewoon

$\int fdg = fg - \int fdg$

en dat klopt niet. Partiele integratie is alleen handig/praktisch als je de afgeleide van een functie in het integrandum ziet staan, en dat is hier niet zo.

Sylvie

Mm ik zou niet weten wat het verband is, je kan misschien de productregel gebruiken, maar als ik dat doe.. klopt het antwoord niet.. Kun je het ook op een manier oplossen zonder substitutie? Dat ziet er zo wel lastig uit.. en ik denk niet dat ik dat snel zal snappen..

Rov

De afgeleide van ln(x) is 1/x. Je kan de integraal dus schrijven als

$ \int \frac{ \ln x}{x}dx = \int \ln x \ d \left( \ln x \right) = \frac{\ln^2 x}{2} + C$

Mischien heb jij de substitutieregel zo gezien:

Substituties ln(x) = u

du/dx = 1/x dus dx = xdu

$ \int \frac{ \ln x}{x}dx =\int u du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{\ln^2 x}{2} + C$

stoker

het is eigelijk wel een geinige oefening, pas eens partiele integratie toe (daar doelde ik dus op)

en dan zal je iets verrassends zien (waaruit dan de oplossing volgt)

TD

Partiele integratie is alleen handig/praktisch als je de afgeleide van een functie in het integrandum ziet staan, en dat is hier niet zo.

Ik zie de functie ln(x) en de afgeleide 1/x, dus volgens mij is het hier precies wat je beschrijft...?

Als je een functie en z'n afgeleide hebt, zou ik in het algemeen eerder voor substitutie gaan.

karensouvereyns

is de uitkomst: ln^2(2) ?

TD

Dat klopt.

karensouvereyns

Ok, sorry van het verwarren tussendoor, maar ik begreep niet meer hoe je dat nu juist deed ... Maar ik heb het gevonden !

Rov

TD schreef:Ik zie de functie ln(x) en de afgeleide 1/x, dus volgens mij is het hier precies wat je beschrijft...?

Als je een functie en z'n afgeleide hebt, zou ik in het algemeen eerder voor substitutie gaan.

Oeps ja, dat is zeker niet alles. Er zijn nog wel wat voorwaarden nodig die het pas handig maken om partiële integratie toe te passen.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Primitiveren

Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren

Re: Primitiveren