Bewegen volgens hyperbool

kotje

Een punt beweegt zodanig dat het produkt van zijn afstanden tot de rechten y=mx en y=-mx een constante is k². Toon aan dat het punt op een tak van een hyperbool beweegt met bovenstaande lijnen als asymptoten.

kotje

Ik heb het produkt van de normaalvgl van y=mx en y=-mx gelijk aan k² gesteld, dan krijg ik de vgl van een hyperbool en nu nog de asymptoten van die hyperbool bepalen.

EvilBro

Neem een punt in het 'rechter-gebied' (beneder mx-lijn en boven -mx-lijn):

\(x_0 = r_0 \cdot \cos(\phi_0)\)

\(y_0 = r_0 \cdot \sin(\phi_0)\)

De hoek tussen de lijnen en de x-as noemen we \(\theta\):

\(\theta = \arctan(m)\)

De afstand naar de lijn y=m x is te bepalen door het gehele stelsel te draaien zodat de y=mx-lijn op de y-as komt te liggen:

\(\delta_1 = r_0 \cdot \cos(\phi_0 + \frac{\pi}{2} - \theta) = r_0 \cdot \sin(\theta - \phi_0)\)

De afstand naar de lijn y=-m x is te bepalen door het gehele stelsel te draaien zodat de y=-mx-lijn op de x-as komt te liggen:

\(\delta_2 = r_0 \cdot \sin(\theta + \phi_0)\)

Produkt van de afstanden:

\(r_0 \cdot \sin(\theta + \phi_0) \cdot r_0 \cdot \sin(\theta - \phi_0) = k^2\)

Gonio:

\(r_0^2 \cdot \cos^2(\phi_0) \cdot \sin^2(\theta) - r_0^2 \cdot \sin^2(\phi_0) \cdot \cos^2(\theta) = k^2\)

\(x^2 \cdot \sin^2(\theta) - y^2 \cdot \cos^2(\theta) = k^2\)

\(x^2 \cdot \tan^2(\theta) - y^2 = \frac{k^2}{\cos(\theta)}\)

\(m^2 x^2 - y^2 = k_v^2\)

Hyperbool detected.

\(y^2 = m^2 x^2 - k_v^2\)

Laat x steeds groter worden. Op een gegeven moment zal gelden:

\(m^2 x^2 >> k_v^2 \rightarrow y^2 \approx m^2 x^2 \rightarrow y = \pm m x \)

En dat zijn de asymptoten.

Hetzelfde verhaal gaat op voor de drie overgebleven gebieden.

kotje

Ik heb het produkt van de normaalvgl van y=mx en y=-mx gelijk aan k² gesteld, dan krijg ik de vgl van een hyperbool en nu nog de asymptoten van die hyperbool bepalen.

Ik zeg niet dat de methode van Evilbro fout is.Maar eerlijk ik heb nogal wat moeilijkheden om ze te volgen. Daarom mijn manier ,hopelijk goede manier , van oplossing.

Zie boven:

\(\frac{(-mx+y)(mx+y)}{m^2+1}=k^2\)

\(\frac{y^2}{k^2(m^2+1)}-\frac{x^2}{k^2\frac{(m^2+1)}{m^2}}=1\)

Wat een hyperbool is met als as de y-as.

Er bestaat nu een trukje om de asymptoten te bepalen(vroeger geleerd). Stel in linkerlid van vgl hyperbool 1=0, ontbindt in factoren en ge krijgt vgl asymptoten en dat blijkt y=mx en y=-mx te zijn.

EvilBro

\(\frac{(-mx+y)(mx+y)}{m^2+1}=k^2\)

Laat eens zien dat de linker term inderdaad het produkt van de afstanden is (ik zie het namelijk nog niet).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Bewegen volgens hyperbool

Bewegen volgens hyperbool

Re: Bewegen volgens hyperbool

Re: Bewegen volgens hyperbool

Re: Bewegen volgens hyperbool

Re: Bewegen volgens hyperbool