[mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Arie Bombarie

Goede dag,

De opdracht:

Een puntmassa beweegt in een rechte baan naar rechts met een snelheid van v = [5/(4+s)] m/s, waarbij s in meters wordt uitgedrukt. Bepaal de plaats van de puntmassa op t=6 s, als s=5 m op t=0.

Allereerst, snap ik werkelijk niks van de vraagstelling, de plaats van de puntmassa op t=6 s snap ik nog, ik moet dus uitrekenen waar de puntmassa na 6 seconden is.

Hier heb ik een tekening van gemaakt:

Afbeelding

Alleen zou ik niet echt weten wat ik moet doen, zelf dacht ik de functie van v(s) integreren zodat ik een functie voor de afstand krijg, dit heb ik dan ook gedaan en ik kwam uit op x(s)=5ln4+s

Maar omdat ik alleen s=5 weet, zou ik niet weten hoe ik s1 kan uitrekenen, ik neem aan gebruik te maken van de tijd gegevens maar ik zou niet weten hoe...

Alvast bedankt!

Morzon

\(v=\frac{5}{4+s}\)

ka niet kloppen. De dimensie van de linkerkant is

\(\frac{L}{T}\)

en van de rechterkant is

\(\frac{1}{L}=L^{-1}\)

Jan van de Velde

\(v=\frac{5}{4+s}\)
ka niet kloppen. De dimensie van de linkerkant is
\(\frac{L}{T}\)
en van de rechterkant is
\(\frac{1}{L}=L^{-1}\)

Dimensie heeft er m.i. weinig mee te maken. De snelheid op enig moment is hier gewoon een functie van de plaats op enig moment. Ik zou de snelheid op enig moment ook een functie kunnen maken van de maanstand op enig moment.

Verder lijkt me dit eerder een wiskundig dan een mechanicaprobleem. En de wiskunde gaat me boven de pet. pi.gif

Morzon

Wat zegt die functie dan? Heeft het ook een fysische betekenis? Hoe moet ik daar de tijd in mengen? Is de afstand dan v*t, kort gezegt wat is het verband tussen tijd en afgelegde afstand? (bv.eenparig vernsnelling?)

Volgens mij klopt dezeopgave niet pi.gif

Jan van de Velde

Nou, de snelheid op tijdstip 0 is 5/9 m/s ≈0,55555 m/s

gesteld dat die snelheid eventjes constant blijft.

dit brengt mij 0,1 s later op afstand 5 + 0,5/9 m = 45,5/9 m

op dat moment heb ik dus een snelheid gekregen van 5/(4 + 45,5/9)m/s ≈0,55214 m/s

Echter, in die tijd van 0 s tot 0,1 s is mijn snelheid al elke fractie van een seconde afgenomen. Ik zou dit dus in infinitesimaal kleine stapjes moeten doen om nauwkeurig te worden.

als functie van mijn vorige plaats en mijn nieuwe snelheid over een inifinitesimaal klein tijdsverloop mijn volgende plaats bepalen.

die invoeren in mijn volgende snelheid, etc.

Of betekent dit een numerieke oplossing? (ik zei al dat dit meer wiskunde dan mechanica was)

Jekke

edit: ik heb niks gezegd

Jekke

De gegeven snelheid afhankelijk van de afgelegde weg is een differentiaalvergelijking die je moet oplossen. Gevraagd is de afstand voor een bepaald tijdstip, dus is de afgelegde weg een functie van de tijd. En de snelheid is per definitie de afstand afgeleid naar de tijd. Pas die twee weetjes expliciet toe:

\(s \prime (t)=\frac{5}{4+s(t)}\)

Deze moet je nu oplossen naar t met de beginvoorwaarde s(0)=5.

dirkwb

Wat is er fout aan de onderstaande redenering?

\( v= \frac{ds}{dt} \rightarrow vdt=ds \rightarrow dt= \frac{1}{v(s)}ds \rightarrow \int dt=\int \frac{1}{v(s)}ds \)

Dus:

\( \int\limits_{t_0}^{t_1} dt = \int\limits_{s_0}^{s_1} \frac{4+s}{5} ds \)

Nu integreren en invullen.

Jekke

dirkwb schreef:Wat is er fout aan de onderstaande redenering?

\( v= \frac{ds}{dt} \rightarrow vdt=ds \rightarrow dt= \frac{1}{v(s)}ds \rightarrow \int dt=\int \frac{1}{v(s)}ds \)
Dus:

\( \int\limits_{t_0}^{t_1} dt = \int\limits_{s_0}^{s_1} \frac{4+s}{5} ds \)
Nu integreren en invullen.

niets, dat is exact wat je bekomt als je de differentiaalvergelijking die ik "opstelde" (ze stond gewoon gegeven in de opdracht) oplost dmv scheiding van de veranderlijken:

\(\int 4+s ds - \int 5 dt = C\)

en dat geeft

\(4s+ \frac{1}{2} s^2 - 5t = C\)

waarin je de integratieconstante C dmv de beginvoorwaarde kunt bepalen

\( \frac{65}{2}\)

en als je dan voor t 6 invult, krijg je een kwadratische vergelijking in s die je moet oplossen en waarvan slechts 1 oplossing positief is:

\(4s(t=6)+ \frac{1}{2} s(t=6)^2 = \frac{65}{2}+5*(t=6) <=> s(6)=\{-4+ \sqrt{141},-4- \sqrt{141} \}\)

. Als je dit uitrekend zal dit exact gelijk zijn aan de oplossing die maple geeft: Maple geeft rechtstreeks

\(s(t)=-4+ \sqrt{81+10t}\)

waaruit je dus makkelijk

\(s(6)=-4+\sqrt{141}\)

berekend.

Hoe dan ook oplossing onder voorbehoud. Ben niet zo nuchter meer momenteel.

Jekke

@Jan: Het is wel degelijk mechanica. Het is het onderdeel van de mechanica: de kinematica. En dat is inderdaad een wiskundige toepassing in de mechanica. Het is dus inderdaad wiskundig, maar het valt onder de noemer mechanica.

Jan van de Velde

HolyCow schreef:..//..

.............. waaruit je dus makkelijk
\(s(6)=-4+\sqrt{141}\)
Het is dus inderdaad wiskundig, maar het valt onder de noemer mechanica.
Daar kunnen we nog eeuwen over bakkeleien, maar dit heeft weinig meer vandoen met de principes van beweging en meer met de principes van berekenen.

Jekke

Jan van de Velde schreef:ik vind in excel met stapjes van 0,01 s een uitkomst van s(t6) = 7,8749 m

Holycow's
\(̠ؤЬ\)
kortom, goed. pi.gif (nuchter of niet)

Daar kunnen we nog eeuwen over bakkeleien, maar dit heeft weinig meer vandoen met de principes van beweging en meer met de principes van berekenen.
Daar ben ik het niet mee eens. Het uitrekenen van de differentiaalvergelijking is wiskunde. Maar het opstellen/inzien van de differentiaalvergelijking of de afleiding van dirkwb, wat de essentie van de opdracht is, is oefenen op de principes van beweging.

Jan van de Velde

Let's not bakkelei any further...... pi.gif

Safe

HolyCow schreef:niets, dat is exact wat je bekomt als je de differentiaalvergelijking die ik "opstelde" (ze stond gewoon gegeven in de opdracht) oplost dmv scheiding van de veranderlijken:

\(\int 4+s ds - \int 5 dt = C\)
en dat geeft
\(4s+ \frac{1}{2} s^2 - 5t = C\)
waarin je de integratieconstante C dmv de beginvoorwaarde kunt bepalen
\( \frac{65}{2}\)
en als je dan voor t 6 invult, krijg je een kwadratische vergelijking in s die je moet oplossen en waarvan slechts 1 oplossing positief is:
\(4s(t=6)+ \frac{1}{2} s(t=6)^2 = \frac{65}{2}+5*(t=6) <=> s(6)=\{-4+ \sqrt{141},-4- \sqrt{141} \}\)
. Als je dit uitrekend zal dit exact gelijk zijn aan de oplossing die maple geeft: Maple geeft rechtstreeks
\(s(t)=-4+ \sqrt{81+10t}\)
waaruit je dus makkelijk
\(s(6)=-4+\sqrt{141}\)
berekend.

Hoe dan ook oplossing onder voorbehoud. Ben niet zo nuchter meer momenteel.

\(4s+ \frac{1}{2} s^2 - 5t = C\)

, breuken wegwerken en randvoorwaarde invullen geeft:

\(s^2+8s=10t+65\)

\((s+4)^2=10t+65+16\)

\(s+4=\pm\sqrt{10t+81}\)

, en de randvoorwaarde geeft:

\(s=-4+\sqrt{10t+81}\)

Het intrigeerde me dat de negatieve wortel vervalt (want een negatieve s is zeer wel mogelijk), tot ik het opschreef.

Wat hier ook aardig is, is dat de snelheid afneemt met groter wordende s, dus moet er een negatieve versnelling zijn. Dit is (natuurlijk) wiskundig aantoonbaar. Toch zal de weg onbeperkt toenemen met afnemende snelheid en (absoluut genomen) afnemende versnelling.

Morzon

En ik zat al die tijd met de dimensie pi.gif

Normaal had ik dit gewoon opgelost

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[mechanica] afgelegde afstand puntmassa

[mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa

Re: [mechanica] afgelegde afstand puntmassa