stel de hoeveelheid water in jaar k (vanaf 2000) voor door
\(h(k)\)
(dus 2000 voorgesteld door k=0)
dan kun je uit de gegevens rechtstreeks de vergelijking opstellen die de hoeveelheid water volgend jaar uitdrukt in de hoeveelheid water van dit jaar:
\(h(k+1)=h(k)-(0,08)h(k)+10^6=(0,96)h(k)+10^6\)
deze vergelijking kun je oplossen en dan heb je de directe formule die jij zoekt:
de homogene oplossing is de oplossing van
\(h(k+1)-(0,96)h(k)=0\)
en dit is
\(h_0 (k)=ar^k\)
met
\(r-(0,96)=0\)
zodat
\(h_0 (k)=a(0,96)^k\)
een particuliere oplossing is bijvoorbeeld de oplossing voor
\(y(k+1)=y(k)\)
zodat
\(h_p (k)=\frac{10^6}{0,08}\)
de "directe formule" is nu
\(h(k)=h_0 (k) + h_p (k)= a0,96^k + \frac{10^6}{0,08}\)
hierin bepaal je
\(a\)
door middel van het gegeven
\(h(0)=14.10^6\)
in te vullen:
\(h(0)=14.10^6=a(0,96)^0 + \frac{10^6}{0,08}\)
zodat
\(a=2500000\)
zodat
\(h(k)=2500000.(0,96)^k + \frac{10^6}{0,08}\)
nu is gevraagd de kleinste k te bepalen zodat
\(h(k)=14.10^6>2500000.(0,96)^k + \frac{10^6}{0,08}\)
dit is
\(k=7\)
dus het gezochte jaartal is 2007
