Ok, nu een stapje verder, het vinden van de potentialen. Ik kom er zelf toch niet helemaal uit denk ik. Het is een heel verhaal, maar het gaat uiteindelijk om mijn vraag op het eind, maar daarvoor moet ik toch even laten zien wat ik tot zover gedaan heb. Dus hier is wat ik gedaan heb:
Eerst de algemene oplossingen voor de potentiaal binnen en buiten de bollen opgeschreven.
Binnen de bol zal B nul moeten zijn omdat anders die term op zal blazen als r naar nul gaat.
Buiten de bol zal A nul moeten zijn omdat anders die term niet naar nul gaat in het oneindige.
Dus:
(1)
\(V_{in}(r, \theta) = \sum^\infty_{L=0} \left( A_L r^L \right) P_L(\cos{\teta})\)
(2)
\(V_{out}(r, \theta) = \sum^\infty_{L=0} \left(\frac{B_L}{r^{L+1}} \right) P_L(\cos{\teta})\)
Er geld een continuiteit in r=b dus
\(V_{in} (b,\theta) = V_{out} (b,\theta)\)
Hieruit volgt een relatie tussen A en B:
(3)
\(B_L = A_L b^{2L+1}\)
Ook geldt de randvoorwaarde:
\(\left( \frac{\partial V_{out}}{\partial r} - \frac{\partial V_{in}}{\partial r} \right) \vert_{r=b} = - \frac{1}{\epsilon_0}\sigma_0 (\theta) \)
Waaruit volgt:
(4)
\(- \sum^{\infty}_{L=0} (L+1) \frac{B_L}{b^{L+2}} P_L (\cos{\theta}) - \sum^{\infty}_{L=0} L A_L b^{L-1} P_L (\cos{\theta}) = - \frac{k}{\epsilon_0} \cos {\theta}\)
Nu stop ik (3) in (4):
(5)
\(\sum^{\infty}_{L=0} (2L+1) A_L b^{L-1} P_L (\cos{\theta}) = - \frac{k}{\epsilon_0} \cos {\theta}\)
Ook gegeven is dat de polynomen orhtogonaal zijn:
(6)
\(\int_0^{\pi} P_L (\cos{\theta}) P_{L'} (\cos{\theta}) \sin{\theta} d{\theta} = \delta_{L L'}\)
deze delta is
\(\frac{2}{2L + 1}\)
als L'=L en anders 0.
Nu vermenigvuldig ik (5) aan beide kanten met
\(P_{L'}(\cos{\theta}) \sin{\theta} d \theta\)
en integreer van nul to pi. Dan houd ik over:
\(A_L = \frac{k}{2 \epsilon_0 b^{L-1}} \int_0^{\pi} \cos{\theta} P_{L}(\cos{\theta}) \sin{\theta} d \theta\)
Deze bestaat alleen voor
\(P_1(\cos{\theta}) = \cos{\theta}\)
voor alle andere P komt hier nul uit.
Nu krijg ik voor A:
(7)
\(\frac{k}{2 \epsilon_0 b^{L-1}} \frac{2}{2L + 1} = \frac{k}{3 \epsilon_0}\)
(Want L=1)
Nu kan ik met (3) en (7), (1) en (2) invullen. Ook weet ik dat L alleen 1 kan zijn:
(8)
\(V_{in}(r, \theta) = \frac{k}{3 \epsilon_0} r \cos{\theta} \)
(9)
\(V_{out}(r, \theta) = \frac{k}{3 \epsilon_0 r^2} b^3 \cos{\theta} \)
En nu heb ik dus een probleem want Vin is niet 0 op r
a.
Ik weet niet waar ik de fout in ben gegaan, ik hoop dat het allemaal een beetje te volgen is en dat iemand me kan vertellen waar het fout gaat.
Kan het misschien zijn dat ik k nog moet bepalen met een of andere randvoorwaarde en dat die het verschil maakt?
Nothing to see here, move along...
