Fourier

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Fourier

Gegeven is de
\(2\pi\)
-periodieke functie
\(F:\rr\to\cc\)
die wordt gedefinieerd door
\(F(x)=x^2-\pi^2\)
voor
\(-\pi<x\leq\pi\)
Een deelvraag hierbij is: Bereken de coëfficiënten
\(c_n\)
zo dat voor alle
\(x\in\rr\)
geldt
\(F(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}^*c_n e^{inx}\)
.

Hiertoe heb ik gebruik gemaakt van een stelling over fouriercoëfficiënten:
\(\hat{f}_n:=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}dt\)
En dus
\(\hat{f}_n\)
berekend. Hieruit kwam, na tweemaal partieel integreren en e-machten omschrijven:
\(\hat{f}_0=-\frac{2\pi^2}{3}\)
voor n=0
\(\hat{f}_n=2\frac{(-1)^n}{n^2}\)
voor n niet 0.

Nu is f_n dus c_n en daarmee deze vraag beantwoord. Het gaat me echter om de volgende deelvraag, waarbij je dit natuurlijk moet gebruiken:

Bereken
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\)
We hebben dus
\(F(x)=\sum_{n\neq 0,n=-\infty}^{\infty}2\frac{(-1)^n}{n^2} e^{inx}-\frac{2\pi^2}{3}\)
(weet neit hoe dit correct op te schrijven).

Met de volgende berekening kom ik op het goede antwoord uit:
\(F(0)=-\pi^2=2\sum_{n\neq 0,n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}-\frac{2\pi^2}{3}\Leftrightarrow \sum_{n\neq 0,n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=-\frac{\pi^2}{6}\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=\frac{1}{2}\sum_{n\neq 0,n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=-\frac{\pi^2}{12}\)
\\edit: pff, laat maar. Ik begreep het tijdens het typen van dit bericht :D
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Fourier

ok des te beter
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 271

Re: Fourier

ja. prachtig.

Reageer