Gegeven is de
\(2\pi\)
-periodieke functie
\(F:\rr\to\cc\)
die wordt gedefinieerd door
\(F(x)=x^2-\pi^2\)
voor
\(-\pi<x\leq\pi\)
Een deelvraag hierbij is: Bereken de coëfficiënten
\(c_n\)
zo dat voor alle
\(x\in\rr\)
geldt
\(F(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}^*c_n e^{inx}\)
.
Hiertoe heb ik gebruik gemaakt van een stelling over fouriercoëfficiënten:
\(\hat{f}_n:=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}dt\)
En dus
\(\hat{f}_n\)
berekend. Hieruit kwam, na tweemaal partieel integreren en e-machten omschrijven:
\(\hat{f}_0=-\frac{2\pi^2}{3}\)
voor n=0
\(\hat{f}_n=2\frac{(-1)^n}{n^2}\)
voor n niet 0.
Nu is f_n dus c_n en daarmee deze vraag beantwoord. Het gaat me echter om de volgende deelvraag, waarbij je dit natuurlijk moet gebruiken:
Bereken
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\)
We hebben dus
\(F(x)=\sum_{n\neq 0,n=-\infty}^{\infty}2\frac{(-1)^n}{n^2} e^{inx}-\frac{2\pi^2}{3}\)
(weet neit hoe dit correct op te schrijven).
Met de volgende berekening kom ik op het goede antwoord uit:
\(F(0)=-\pi^2=2\sum_{n\neq 0,n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}-\frac{2\pi^2}{3}\Leftrightarrow \sum_{n\neq 0,n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=-\frac{\pi^2}{6}\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=\frac{1}{2}\sum_{n\neq 0,n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=-\frac{\pi^2}{12}\)
\\edit: pff, laat maar. Ik begreep het tijdens het typen van dit bericht
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -