Wiskundig inzicht?

Phys

Is er een snelle/handige manier om in te zien dat de volgende integraal nul oplevert, zonder de primitieve expliciet uit te werken en grenzen invullen?

\(2\cos{(8\omega t)}\int_0^a x\sin{\left(\frac{\pi x}{a}\right)}\sin{\left(\frac{3\pi x}{a}\right)}dx=0\)

<script type="text/javascript">graph(0,1,-0.5,0.5,300,300,600,600,'x*sin(pi*x)*sin(3*pi*x)')</script>

Blijkbaar is de oppervlakte precies nul (boven x-as positief, onder x-as negatief). Maar is dat op voorhand te vertellen of te beredeneren?

oscar2

Nog wat simpler. De integraal (van 0 tot 2 pi) van x*sin(x)*sin(3x).

Natuurlijk: sin(x)sin(3x) = (cos(4x)-cos(2x))/2. Maar misschien wil je dat niet gebruiken.

Verder symmetrie: sin(x) en sin(3x) zijn a-symmetrisch t.o.v. het midden (pi).

x kun je dan beter splitsen in een symmetrisch en en a-symmetrisch deel.

dus: x = pi + (x-pi).

(x-pi) is a-symmetrisch. Samengesteld: (x-pi)sin(x)sin(3x) is ook a-symmetrisch.

Daarvan is de integraal dus nul.

Blijft er over: pi*sin(x)*sin(3x). Dat is symmetrisch t.o.v. het midden.

Dan heb je toch nodig dat dit gelijk is aan cos(4x)-cos(2x) (de factor pi/2 laat ik weg).

Deze zijn niet a-symmetrisch maar doorlopen wel een heel aantal perioden.

Dus is deze integraal ook nul.

Is dit wat?

Morzon

\(f(x)=x \sin{(\frac{\pi x}{a})} \sin{(\frac{3 \pi x}{a}}\)

\(f(-x)=-f(x)\)

\(\int_{-a}^a f(x) \ dx = \int_{-a}^0 f(x) \ dx +\int_0^a f(x) \ dx =0\)

\(\int_{-a}^0 f(x) \ dx = - \int_{a}^0 f(x) \ dx=\int_0^a f(x) \ dx\)

dus

\(\int_{-a}^a f(x) \ dx = 2 \int_0^a f(x) \ dx =0\)

Dus de gevraagde integraal is 0.

oscar2

Misschien mis ik iets. Maar dit lijkt me niet correct. Uit het feit dat de functie a-symmetrisch is rond 0 kun je niet afleiden dat de integraal tussen 0 en a gelijk is aan nul.

Volgens mij ziet de fout hier:

\(\int_{-a}^0 f(x) \ dx = - \int_{a}^0 f(-x) \ dx= \int_{a}^0 f(x) \ dx= - \int_0^a f(x) \ dx\)

En dus krijg je uiteindelijk 0=0. En daar is niets uit af te leiden. Sorry.

Morzon

edit: ik zie het. pi.gif

Ik denk dat als ik een beetje met de periode speel, dat ik er dan uit kom, maar ik weet niet of Phys zoeits wil.

Phys

Morzon schreef:
\(\int_{-a}^a f(x) \ dx = \int_{-a}^0 f(x) \ dx +\int_0^a f(x) \ dx =0\)

\(\int_{-a}^0 f(x) \ dx = - \int_{a}^0 f(x) \ dx=\int_0^a f(x) \ dx\)
dus
\(\int_{-a}^a f(x) \ dx = 2 \int_0^a f(x) \ dx =0\)
Dus de gevraagde integraal is 0.

Volgens mij moet dat zijn:

\(\int_{-a}^a f(x) \ dx = \int_{-a}^0 f(x) \ dx +\int_0^a f(x) \ dx =0\)

\(\int_{-a}^0 f(x) \ dx = -\int_0^a f(x) \ dx= \int_{a}^0 f(x) \ dx\)

dus kun je geen conclusie trekken.

Dat zou ook raar zijn, want jouw methode zou je voor iedere willekeurige a kunnen doen. Natuurlijk is de integraal niet voor iedere a nul. Je meot m.i. gebruik maken van het feit dat a ook in het argument van de sinussen staat.

@Oscar: ff jouw eerste bericht doornemen.

Beiden bedankt voor de reactie uiteraard!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Wiskundig inzicht?

Wiskundig inzicht?

Re: Wiskundig inzicht?

Re: Wiskundig inzicht?

Re: Wiskundig inzicht?

Re: Wiskundig inzicht?

Re: Wiskundig inzicht?