Recursie

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Recursie

Los op:
\(a_n=2(a_{n-1}-a_{n-2})\mbox{ }n\geq2\mbox{ , }a_0=1\mbox{ , }a_1=2\)
Maak eventueel de oplossingen reëel.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 7.068

Re: Recursie

kotje schreef:Los op:
\(a_n=2(a_{n-1}-a_{n-2})\mbox{ }n\geq2\mbox{ , }a_0=1\mbox{ , }a_1=2\)
\(a_{4k} = (-4)^k\)
\(a_{4k+1} = a_{4k+2} = 2 \cdot (-4)^k\)
\(a_{4k+3} = 0\)
Maak eventueel de oplossingen reëel.
Waarom deze opmerking?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Recursie

Ik vul in
\(a_n=cr^n\)
.

Ik krijg een vkv met toegevoegde complexe wortels.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 7.068

Re: Recursie

kotje schreef:Ik vul in
\(a_n=cr^n\)
.

Ik krijg een vkv met toegevoegde complexe wortels.
Edit: zou je hier je uitwerking willen laten zien?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Recursie

Ik vul in
\(a_n=cr^n\)
.
Dat lijkt me geen mogelijke oplossing (ongeacht of je complexe oplossingen toestaat of niet).

Uit
\(a_0=c\cdot r^0=1\)
volgt
\(c=1\)
, en uit
\(a_1=1\cdot r^1 = 2\)
volgt dan
\(r=2\)
, en daaruit zou volgen dat
\(a_2=1\cdot2^2=4\)
maar dat kan niet, want
\(a_2=2\)
.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Berichten: 7.068

Re: Recursie

Dat lijkt me geen mogelijke oplossing (ongeacht of je complexe oplossingen toestaat of niet).
Ik had de hoop dat ie dit zelf ging ontdekken...

Re: Recursie

...

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Recursie

Karakteristieke vgl:

r²-2r+2=0 nulpunten 1 :D i

Algemene oplossing is:
\(a_n=c_1(1+i)^n+c_2(1-i)^n\)
waarbij de constanten complex kunnen zijn. Nu ze nog bepalen met de beginvoorwaarden?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 7.068

Re: Recursie

Nu ze nog bepalen met de beginvoorwaarden?
Ik zou zeggen: ga je gang.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Recursie

kotje schreef:Karakteristieke vgl:

r²-2r+2=0 nulpunten 1 :D i

Algemene oplossing is:
\(a_n=c_1(1+i)^n+c_2(1-i)^n\)
waarbij de constanten complex kunnen zijn. Nu ze nog bepalen met de beginvoorwaarden?
\(1+i=\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4}))\)
\(1-i=\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})-i\sin(\frac{\pi}{4}))\)
\(a_n=(\sqrt{2})^n(k_1\cos(\frac{n\pi}{4})+k_2\sin(\frac{n\pi}{4}))\)
\(k_1=c_1+c_2\mbox{ en } k_2=(c_1-c_2)i\)
\(1=a_0=k_1\)
\(2=a_1=1+k_2\mbox{ dus }k_2=1\)
De algemene oplossing is dus:
\(a_n=(\sqrt{2})^n(\cos(\frac{n\pi}{4})+\sin(\frac{n\pi}{4}))\)
EvilBro schreef:
Ik zou zeggen: ga je gang.
Ik hoop dat er geen opmerkingen zijn. Er is nog één vraag: Waarom zijn de oplossingen reëel, alhoewel c1 en c2 complex zijn?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 7.068

Re: Recursie

Ik hoop dat er geen opmerkingen zijn.
Ik heb wel een opmerking: je hebt gelijk. Ik zal wel ergens een rekenfout gemaakt hebben want ik kreeg conflicterende uitkomsten voor de c's en dacht daardoor dat het niet kon.

Reageer