\(u_{xx} +2v u_{tx} + (v^2-c^2)u_{tt} = 0\)
\(X''T + 2 v X'T' + (v^2-c^2) XT'' = 0\)
\(\frac{X''}{X} + 2 v \frac{X'}{X}\frac{T'}{T} + (v^2-c^2) \frac{T''}{T} = 0\)
Differentieren naar t:
\(2 v \frac{X'}{X}\frac{T''T-T'^2}{T^2} + (v^2-c^2) \frac{T'''T-T''T'}{T^2} = 0\)
\(-2 v \frac{X'}{X} = (v^2-c^2) \frac{T'''T-T''T'}{T''T-T'^2}\)
Je "vindt" een exponentiele functie voor X. Omdat iets soortegelijks krijgt door te differentieren naar t zal T ook wel een exponentiele functie zijn. Om uit te vinden welke vul je de oplossing van X die je hebt in de tweede vergelijking. Dan vind je voor iedere oplossing van X een exponentiele oplossing voor T. Echte scheiding van variabelen is het dus niet. Eigenlijk probeer je gewoon een oplossing u(x,t) = Aexp(bx+ct). Als je dat probeert vind je gewoon een relatie tussen b en c.
