Partiele differentiaalvergelijking
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 4.246
Partiele differentiaalvergelijking
\(\frac { -\frac{dT}{dt}+ T\frac{d^2T}{dt} } {-1 + T \frac{dT}{dt} } = -2V \frac{1}{X} \frac{dX}{dx}\)
Wat is nu de volgende stap? Ik neem aan dat de separatie van variabelen nu nog niet klaar is klopt dat?Quitters never win and winners never quit.
- Berichten: 271
Re: Partiele differentiaalvergelijking
waarom niet. Als je nu een X(x) kunt vinden zdd het rechterlid gelijk is aan een constante A, en een T(t) zdd het linkerlid ook gelijk is aan dezelfde waaarde A (dit alles voor een willekeurige waarde van A) dan is u(x,t)=X(x)T(t) een oplossing van de vergelijking. Toch?
-
- Berichten: 4.246
Re: Partiele differentiaalvergelijking
Ok, ik heb nu gevonden:
\(\overline{ \lambda } = ( \frac{n \pi }{L } )^2 ,\ \overline{ \lambda } =2V \lambda,\ n=1,2,3,...\)
Hoe los je dan de vergelijking met T(t) op?Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 4.246
Re: Partiele differentiaalvergelijking
@ oscar: de oplossing is niet u(x,t)=X(x)T(t) (bij de vgl die ik heb gevonden) want bij het differentieren naar t ben ik het deel van V2-c2 kwijtgeraakt. In de eerste post staat het fout ik heb naar t gedifferentieerd.
Quitters never win and winners never quit.
- Berichten: 271
Re: Partiele differentiaalvergelijking
\(u_{xx} +2v u_{tx} + (v^2-c^2)u_{tt} = 0\)
\(X''T + 2 v X'T' + (v^2-c^2) XT'' = 0\)
\(\frac{X''}{X} + 2 v \frac{X'}{X}\frac{T'}{T} + (v^2-c^2) \frac{T''}{T} = 0\)
Differentieren naar t:\(2 v \frac{X'}{X}\frac{T''T-T'^2}{T^2} + (v^2-c^2) \frac{T'''T-T''T'}{T^2} = 0\)
\(-2 v \frac{X'}{X} = (v^2-c^2) \frac{T'''T-T''T'}{T''T-T'^2}\)
Je "vindt" een exponentiele functie voor X. Omdat iets soortegelijks krijgt door te differentieren naar t zal T ook wel een exponentiele functie zijn. Om uit te vinden welke vul je de oplossing van X die je hebt in de tweede vergelijking. Dan vind je voor iedere oplossing van X een exponentiele oplossing voor T. Echte scheiding van variabelen is het dus niet. Eigenlijk probeer je gewoon een oplossing u(x,t) = Aexp(bx+ct). Als je dat probeert vind je gewoon een relatie tussen b en c.- Berichten: 271
Re: Partiele differentiaalvergelijking
Eigenlijk vind ik het gewoon niet zo'n leuke som (daar kun jij niets aan doen hoor!). En zeker niet het gedoe van onderdeel b.
Probeer je gewoon de oplossing u(x,t) = Aexp(ax+bt) dan vindt je een soort dubbele karakteristieke vergelijking: b^2+2vba+(v^2-c^2)a^2=0 oftewel (b/a)^2 + 2v(b/a)+(v^2-c^2) = 0. Niet eens echt dubbel dus.
De oplossing: b/a = v+c of v-c. Dat is toch echt een stuk eenvoudiger.
Probeer je gewoon de oplossing u(x,t) = Aexp(ax+bt) dan vindt je een soort dubbele karakteristieke vergelijking: b^2+2vba+(v^2-c^2)a^2=0 oftewel (b/a)^2 + 2v(b/a)+(v^2-c^2) = 0. Niet eens echt dubbel dus.
De oplossing: b/a = v+c of v-c. Dat is toch echt een stuk eenvoudiger.
-
- Berichten: 4.246
Re: Partiele differentiaalvergelijking
Bedankt Oscar, ik zal er eens goed naar kijken met jouw hints in mijn achterhoofd. Eerlijk gezegd vind ik deze opgave gewoon heel erg moeilijk omdat de "normale separatie" niet werkt.
Quitters never win and winners never quit.