Limiet berekenen

Jackthe

Hallo,

ik zit met een nare limiet te klooien, waar ik echt niet uit kom.

Gedeeltelijk ben ik er al, alleen dat laatste stukje...

\( \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x - \sum _{i=1} ^{x-1} \ \frac{x-i}{ 2^i } }{2x } = \\\frac{1}{2} - \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{ \sum _{i=1} ^{x-1} \ \frac{x-i}{ 2^i } }{2x } = \\\frac{1}{2} - \lim_{x \rightarrow \infty } \sum _{i=1} ^{x-1} \ \frac{x-i}{ x2^{(i+1)} } = ???\)

Iemand enig idee? Alvast hartelijk dank!

EvilBro

hint: bekijk de meetkundige reeks en de afgeleide daarvan.

Jackthe

een stap verder...

\( \frac{1}{2} - \lim_{x \rightarrow \infty } \sum _{i=1} ^{x-1} \ \frac{x-i}{ x2^{(i+1)} } = \\ \)

hint: bekijk de meetkundige reeks en de afgeleide daarvan.

Waar kan ik die vinden?

EvilBro

Meetkundige reeks:

\(\sum_{k=0}^N r^k = \frac{1-r^{N+1}}{1-r}\)

Jackthe

\(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x}{x} \sum _{i=1} ^{x-1} \ \frac{1}{ 2^{i} } + \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow \infty } \sum _{i=1} ^{x-1} \ \frac{i}{ x2^{i} } = \)

dan is de volgende stap:

\(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} ( \sum _{i=0} ^{\infty} \ \frac{1}{ 2^{i} } - \frac{1}{2} ) + \frac{1}{2} \sum _{i=0} ^{\infty }\ \frac{i}{ x2^{i} } = \)

waaruit volgt:

\(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} ( \frac{1}{ 1 - \frac{1}{2} } - \frac{1}{2} ) + \frac{1}{2} \sum _{i=0} ^{\infty }\ \frac{i}{ x2^{i} } = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \sum _{i=0} ^{\infty }\ \frac{i}{ x2^{i} } \)

kotje

Jackthe schreef:Hallo,

ik zit met een nare limiet te klooien, waar ik echt niet uit kom.

Gedeeltelijk ben ik er al, alleen dat laatste stukje...

\( \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x - \sum _{i=1} ^{x-1} \ \frac{x-i}{ 2^i } }{2x } = \\\frac{1}{2} - \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{ \sum _{i=1} ^{x-1} \ \frac{x-i}{ 2^i } }{2x } = \\\frac{1}{2} - \lim_{x \rightarrow \infty } \sum _{i=1} ^{x-1} \ \frac{x-i}{ x2^{(i+1)} } = ???\)
Iemand enig idee? Alvast hartelijk dank!

Als x een reëel getal is, dan vind ik de indices van het som teken eigenaardig. Wat stelt x-1 voor

?

EvilBro

Als x een reëel getal is,

x is gezien de vraag een natuurlijk getal.

Wat stelt x-1 voor ?

Het gaat om een limiet naar oneindig. Deze vraag is daarom net zo betekenisloos als je afvragen wat n voor

voorstelt in

\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\)

Jackthe

Als x een reëel getal is, dan vind ik de indices van het som teken eigenaardig. Wat stelt x-1 voor ?

Klopt, heb je ook volledig gelijk in. Zoals je hierboven ziet heb ik de indices van de sommaties ook aangepast. De formule is namelijk afgeleide van een andere functie.

Ik wil weten waar mijn originele functie

\( \frac{A(n)}{n} \)

heen convergeert waarbij

\( A(n) = \frac {n - A(n-1)}{2} \)

met

\( A(0) = 0 \)

.

\( A(n) = \frac {n - A(n-1)}{2} \)

kan geschreven worden als

\( A(n) = \frac{n - \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{n-i}{ 2^i } }{2 } \)

. Vandaar mijn rare indices, ik ben soms gewoon een beetje lui...

Jackthe

Maar ik zit nu echt vast op deze.

\( - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \sum _{i=0} ^{\infty }\ \frac{i}{ x2^{i} } \)

waarbij ik de laatste sommatie echt niet weet. Wel weet ik dat er ongeveer

\(7/12\)

uit zal komen. Omdat ik weet dat mijn originele functie convergeert naar ongeveer

\(1/3\)

.

EvilBro

\(\sum_{k=0}^N r^k = \frac{1 - r^{N+1}}{1-r}\)

Afgeleide naar r aan beide kanten (controleer dit, ik heb het namelijk snel even afgeleid dus ik garandeer niks!

):

\(\sum_{k=1}^N k r^{k-1} = \frac{1 - (N+1) r^N + N r^{N+1}}{(1-r)^2}\)

kotje

Beste Jackthe, ik zou eens mooi alles op een rijtje zetten en neerschrijven, dan zal iemand je misschien kunnen helpen. Ik persoonlijk heb meer vragen dan antwoorden bij je vraag. Waar EvilBro met zijn afgeleide naar toe wil daar begrijp ik ook geen snars van.

EvilBro

Zo moeilijk is dat toch echt niet:

\(\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x - \sum _{i=1} ^{x-1} \frac{x-i}{2^i}}{2 x} = \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x - (x \sum _{i=1} ^{x-1} (\frac{1}{2})^i - \sum _{i=1} ^{x-1} i (\frac{1}{2})^i)}{2 x}\)

Beide somtekens kun je nu wegwerken.

Jackthe

@EvilBro Helaas kan ik daar zelf vrij weinig mee. Limieten en reeksen heb ik voor het laatst mee gewerkt 3 a 4 jaar geleden en toen was het al mijn zwakste punt.

Overigens kwam ik er achter dat ik een foutje had gemaakt in mijn gedachtesprongetjes, dus deze nog een keer en hopelijk dit keer zonder foutjes

.

Maar hier is alles nog een keertje op een rij...

\(\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{A(n)}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n - \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{n-i}{ 2^i } }{2*n } =\)

\(\frac{1}{2} - \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2n} \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{n-i}{ 2^i } =\)

\(\frac{1}{2} - \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2n} ( \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{n}{ 2^i } - \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{i}{ 2^i } ) = \)

toch????

\(\frac{1}{2} - \lim_{n \rightarrow \infty } \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{n}{ 2n2^i } - \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2n} \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{i}{ 2^i } = \)

1/2n binnen de eerste sommatie gehaald....

\(\frac{1}{2} - \lim_{n \rightarrow \infty } \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{1}{ 2*2^i } - \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2n} \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{i}{ 2^i } = \)

\(\frac{1}{2} - \lim_{n \rightarrow \infty } \sum _{i=0} ^{n-1} \ \frac{1}{ 2^2*2^i } - \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2n} \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{i}{ 2^i } = \)

eerste sommatie vanaf 0 laten beginnen...

\(\frac{1}{2 } - \frac{1}{4} \lim_{n \rightarrow \infty } \sum _{i=0} ^{n-1} \ \frac{1}{ 2^i } - \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2n} \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{i}{ 2^i } = \)

1/4 buiten de eerste sommatie en limiet gehaald, het is een constante. Dit mag toch?

\(\frac{1}{2} - \frac{2}{4} - \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2n} \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{i}{ 2^i } = \)

eerste sommatie convergeert naar 2, want

\( \sum _{i=0} ^{ \infty} \ \frac{1}{ a^i } = \frac {1}{1- \frac{1}{a}}\)

(toch???)

Dus :

\(- \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2n} \sum _{i=1} ^{n-1} \ \frac{i}{ 2^i } = \)

en dan zit ik nu dus vast....

Zeker omdat ik weet dat het ongeveer naar

\( \frac{1}{3} \)

moet convergeren...

EvilBro

Zeker omdat ik weet dat het ongeveer naar
\( \frac{1}{3} \)
moet convergeren...

Moet dat?

Jackthe

EvilBro schreef:Zo moeilijk is dat toch echt niet:

\(\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x - \sum _{i=1} ^{x-1} \frac{x-i}{2^i}}{2 x} = \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x - (x \sum _{i=1} ^{x-1} (\frac{1}{2})^i - \sum _{i=1} ^{x-1} i (\frac{1}{2})^i)}{2 x}\)
Beide somtekens kun je nu wegwerken.

Via een omweg ben ik daar ook gekomen (op een min => plus teken na...

) want:

\( \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x - (x \sum _{i=1} ^{x-1} (\frac{1}{2})^i - \sum _{i=1} ^{x-1} i (\frac{1}{2})^i)}{2 x} =\)

\( \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x}{2 x} - \frac{x}{2 x} \sum _{i=1} ^{x-1} (\frac{1}{2})^i + \frac{1}{2 x} \sum _{i=1} ^{x-1} i (\frac{1}{2})^i = \\\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x}{2 x} - \frac{x}{2 x} \sum _{i=1} ^{x-1} (\frac{1}{2})^i + \frac{1}{2 x} \sum _{i=1} ^{x-1} i (\frac{1}{2})^i = \)

\(\frac{1}{2 } - \frac{1}{2^2} \lim_{x \rightarrow \infty } \sum _{i=0} ^{x-1} (\frac{1}{2})^i +\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{1}{2 x} \sum _{i=1} ^{x-1} i (\frac{1}{2})^i = \)

\(\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{1}{2 x} \sum _{i=1} ^{x-1} i (\frac{1}{2})^i\)

Alleen nu loop ik weer vast....

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Limiet berekenen

Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen

Re: Limiet berekenen